数理逻辑5 -- 计算理论3

部分递归函数（Partial Recursive Function）

定义图灵机不单单是为了好玩，还为了研究什么样的东西才是“可计算”的。从图灵机“一步一步”操作的方式来看，好像任意函数都能被计算。但实际上，只有某一类函数可被图灵机计算。这类函数被称作部分递归函数，与图灵机可计算的函数是等价的。

前面漫长的证明哥德尔不完备定理过程中，哥德尔引入了“原始递归和递归函数”的概念，然后利用哥德尔编码把符号、好式子、证明，等一系列形式系统里的东西变成递归函数，再把递归函数变回形式系统里的符号，从而构造出“自指”的奇怪好式子。这里图灵用了同样的手法，让我们一步步看看图灵的戏法。

前面提到了递归函数的概念：(a) 初始函数、零函数和投射函数；(b) 替代操作；(c) 递归操作；(d) 受限$\mu-$操作。我们说，一个函数是递归的，当且仅当，它是(a)中的某一种函数，或者由递归函数通过(b)(c)(d)中任意一种操作而成。

在这里，我们放宽一下(d)操作，把受限$\mu-$操作变成非受限$\mu-$操作（unrestricted $\mu-$operation）：

$$f(x_1, ..., x_n) = \mu y \big( g(x_1, ..., x_n, y) = 0 \big)$$ ，即满足 $f(x_1,...,x_n)$的函数值是满足 $g(x_1,...,x_n, y) = 0$的最小的 $y$。

注意，对于某一组$x_1,...,x_n$，若没有$y$满足$g(x_1,...,x_n,y ) = 0$，则$f(x_1,...,x_n)$的函数值就没有定义，这也是为什么称为“部分函数”。

我们说，一个函数$f(x_1,..., x_n)$是部分递归函数（partial recursive function），当且仅当，它是初始函数，或者由部分递归函数经过替代、递归、非受限$\mu-$操作而构成。

我们将证明，部分递归函数与图灵机可计算函数等价。为此，我们先证明任一部分递归函数都可被图灵机计算。

标准图灵可计算（Standard Turing-Computable, ST-compute）

这里定义标准图灵可计算只是为了讨论方便，并没有引入新概念。

我们说，部分函数（partial function）$f(x_1, ..., x_n)$是标准图灵可计算（standard Turing-computable），当存在一个图灵机$\mathcal{F}$，使得对于任意自然数$k_1, ..., k_n$，以下条件成立：
令$B \overline{k_1}B\overline{k_2}B...B\overline{k_n}$表示磁带上的一个“参数带（argument strip）”。注意，参数带右方没有格子，左方可能有其它格子。图灵机$\mathcal{F}$从参数带的$\overline{k_1}$的第一个格子开始操作：
1. $\mathcal{F}$停止，当且仅当，$f(k_1, ..., k_n)$有定义；
2. 若$\mathcal{F}$停止，磁带上保留参数带，并且在右方打印$B \overline{f(x_1, ..., x_n)}$，也即把结果打印在参数带的右方。
3. 停机时，磁头对着$\overline{f(x_1,...,x_n)}$左起第一个格子；
4. 停机时，f(x1,...,xn)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯f(x1,...,xn)¯