矩阵快速幂

 矩阵快速幂类似于快速幂，如果不懂快速幂的可以看一下我的这个博客：快速幂。

 多了“矩阵”二字好像变得高大上，其实懂一点矩阵性质的人就觉得这好小儿科了。

先来说说矩阵的性质吧：

如图，一个m*n的矩阵A和m*n的矩阵B：

矩阵加法（这个可以忽略）

1. 

矩阵乘法（敲重点）

1. A*B=C（一个m*n的矩阵）
2. 

以上中，矩阵快速幂有两个需要理解的，分别是矩阵乘法中的1和2.c

1显而易见，2.c是因为如：  A的n次方  (A*A)*A*A*A*A........=(A)*(A*A)*(A*A*A*A)*(A*........而不影响。

思路由于和快速幂思路相同，所以直接代码（见矩阵快速幂模板题poj 3070 ）：

f(n)=f(n-1)+f(n-2)等价于或（这张盗的图）

需要的结构体：

struct matrix
{
	ll m[3][3];
}ans;

m*n的矩阵A和m*n的矩阵B相乘：【这个函数可以重写，可以改成随便什么几乘以几*随便什么几乘以几的，这个得自己想想，因题而异】

matrix matrixmultiply(matrix a,matrix b,ll n)
{
	matrix c;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
		c.m[i][j]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			for(int k=1;k<=n;k++)
			{
				c.m[i][j]+=(a.m[i][k]*b.m[k][j])%mod;
			}
	return c;
}

矩阵快速幂主要函数实现（类快速幂的实现）：

ll quickpow(matrix a,ll n)
{
	for(int i=1;i<=2;i++)
		for(int j=1;j<=2;j++)
		{
			if(i==j) ans.m[i][j]=1;
			else ans.m[i][j]=0;
		}
	while(n)
	{
		if(n&1) ans=matrixmultiply(ans,a,2);
		a=matrixmultiply(a,a,2);
		n>>=1;
	}
	return ans.m[1][2];
}

主函数部分：

int main()
{
	ll n;
	while(cin>>n&&(n!=-1))
	{
		matrix a;
		a.m[1][1]=a.m[1][2]=a.m[2][1]=1;
		a.m[2][2]=0;
		ll ans=0;
		quickpow(a,n);
		cout<<quickpow(a,n)%mod<<endl;;
	}
	return 0;
}

说一句大实话：上面的依旧是基础篇，也就是说，给好的矩阵让你算。这个矩阵——进阶让我们来感受一下表达式变矩阵来计算吧！

顺便解释一下这个图，其实左边那个是1*n的（也就是躺着一排的），最右边的也是一样的，否则无法进行矩阵乘法（看了半天 ╥﹏╥...），这样写可能只是为了好看吧。中间的状态转移矩阵每一行的各个系数讨到左边的矩阵中即可。

弄一个超好理解的图，乘号上面的那个矩阵就是每个变量，下面7*7的每行是对应的系数，等号右边对应每行的是每个得到的值，相对应而已。只是为了方便求中间那个状态转移矩阵（这样直接填7*7的矩阵就行）。

还有还有，推f（n-1）的也行，自行脑补。