7月27日课后作业

7月27日课后作业

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作业一

1. 令A={1,2,5,8,9},写出A上的“模2同余”关系及相应的划分\mathbf{A}=\{1,2,5,8,9\},写出\mathbf{A}上的“模2同余”关系及相应的划分A={1,2,5,8,9},写出A上的“模2同余”关系及相应的划分

答：
R={(a,b)∈A×A∣amod  2=bmod  2}\mathbf{R} = \{(a, b) \in \mathbf{A} \times \mathbf{A} \vert a \mod 2 = b \mod 2\}R={(a,b)∈A×A∣amod2=bmod2}
R={(1,1),(1,5),(1,9),(2,2),(2,8),(5,1),(5,5),(5,9),(8,2),(8,8),(9,1),(9,5),(9,9)}\mathbf{R}=\{(1,1),(1,5),(1,9),(2,2),(2,8),(5,1),(5,5),(5,9),(8,2),(8,8),(9,1),(9,5),(9,9)\}R={(1,1),(1,5),(1,9),(2,2),(2,8),(5,1),(5,5),(5,9),(8,2),(8,8),(9,1),(9,5),(9,9)}
划分： P={{1,5,9},{2,8}}\mathcal{P}=\{\{1,5,9\},\{2,8\}\}P={{1,5,9},{2,8}}

2. A={1,2,5,8,9},自己给定两个关系R1和R2，并计算R1R2，R1+，R1∗\mathbf{A}=\{1,2,5,8,9\},自己给定两个关系\mathbf{R}_1和\mathbf{R}_2，并计算\mathbf{R}_1\mathbf{R}_2，\mathbf{R}_1^+，\mathbf{R}_1^*A={1,2,5,8,9},自己给定两个关系R1​和R2​，并计算R1​R2​，R1+​，R1∗​

答：
R1={(a,b)∈A×A∣amod  3=bmod  3}\mathbf{R}_1=\{(a, b) \in \mathbf{A} \times \mathbf{A} \vert a \mod 3 = b \mod 3\}R1​={(a,b)∈A×A∣amod3=bmod3}
R1={(1,2),(2,5),(2,8),(5,8)}\mathbf{R}_1=\{(1,2),(2,5),(2,8),(5,8)\}R1​={(1,2),(2,5),(2,8),(5,8)}
R2={(a,b)∈A×A∣amod  4=bmod  4}\mathbf{R}_2 = \{(a, b) \in \mathbf{A} \times \mathbf{A} \vert a \mod 4 = b \mod 4\}R2​={(a,b)∈A×A∣amod4=bmod4}
R2={(1,5),(1,9),(2,8),(5,9)}\mathbf{R}_2=\{(1,5),(1,9),(2,8),(5,9)\}R2​={(1,5),(1,9),(2,8),(5,9)}

R1R2={(1,8)}\mathbf{R}_1\mathbf{R}_2=\{(1,8)\}R1​R2​={(1,8)}

R11={(1,2),(2,5),(2,8),(5,8)}\mathbf{R}_1^1=\{(1,2),(2,5),(2,8),(5,8)\}R11​={(1,2),(2,5),(2,8),(5,8)}
R12={(1,5),(1,8),(2,8)}\mathbf{R}_1^2=\{(1,5),(1,8),(2,8)\}R12​={(1,5),(1,8),(2,8)}
R13={(1,8)}\mathbf{R}_1^3=\{(1,8)\}R13​={(1,8)}
${\mathbf{R}}_1^4=\varnothing$
${\mathbf{R}}_1^5=\varnothing$
R1+=⋃i=1∣A∣Ri={(1,2),(1,5),(1,8),(2,5),(2,8),(5,8)}\mathbf{R}_1^+=\bigcup_{i=1}^{|\mathbf{A}|}\mathbf{R}^i= \{(1,2),(1,5),(1,8),(2,5),(2,8),(5,8)\}R1+​=⋃i=1∣A∣​Ri={(1,2),(1,5),(1,8),(2,5),(2,8),(5,8)}

A0={(1,1),(2,2),(5,5),(8,8),(9,9)}\mathbf{A}^0=\{(1,1),(2,2),(5,5),(8,8),(9,9)\}A0={(1,1),(2,2),(5,5),(8,8),(9,9)}
R1∗=R+∪A0={(1,1),1,2),(1,5),(1,8),(2,2),(2,5),(2,8),(5,5),(5,8),(8,8),(9,9)}\mathbf{R}_1^*=\mathbf{R}^+\cup \mathbf{A}^0=\{(1,1),1,2),(1,5),(1,8),(2,2),(2,5),(2,8),(5,5),(5,8),(8,8),(9,9)\}R1∗​=R+∪A0={(1,1),1,2),(1,5),(1,8),(2,2),(2,5),(2,8),(5,5),(5,8),(8,8),(9,9)}

3. 查阅粗糙集上下近似的定义并大致描述.

答：粗糙集理论作为一种数据分析处理理论,是一种处理不精确(imprecise)、不一致(inconsistent)、不完整(incomplete)等各种不完备的信息有效的工具。
粗糙集中，知识被认为是一种分类能力，根据事务特征差别将其分门别类的能力都可以看作某种知识。比如一个集合A={x1,x2,..,x8}\mathbf{A}=\{x_1,x_2,..,x_8\}A={x1​,x2​,..,x8​}中的对象都有许多不一样的属性（颜色，形状，大小）我们按照颜色对我们的集合进行一个划分，那我们说颜色属性就是一种知识。假设给定一个A上的子集合X={x1,x4,x5}\mathbf{X}=\{x_1,x_4,x_5\}X={x1​,x4​,x5​},我们无论是用单属性知识还是由几个知识进行交、并运算合成的知识都无法得到这个集合X，我们就只好用所有的现有知识里面找出跟他最像的两个一个作为上近似，一个作为下近似。

• 上近似则是将那些包含$\mathbf{X}$的知识库中的集合求并得到的（包含X的最小可定义集）
• 下近似集是在那些所有的包含于$\mathbf{X}$ 的知识库中的集合中求并得到的（包含在X内的最大可定义集）

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作业二

举例说明你对函数的认识

答：函数一种一个实例到另一个实例的映射，这个实例不仅仅是一个实数，它还可能是一个向量，一段语言，不再局限于只是输入数字和输出数字。他有着特定输入和预期输出，同时他的输入和输出可以是一对一的，也可以是多对一的，但不可以是一对多的。机器学习中的各种分类器也算是函数。

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作业三

自己给定一个矩阵并计算其各种范数.

答：矩阵$\mathbf{X}=\left[\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 4\end{array}\right]$，其$l_p$范数定义为$||\mathbf{X}|{|}_p={\left(\sum _{i,j}|x_{ij}{|}^p\right)}^{\frac{1}{p}}$
$l_0范数：$
∣∣X∣∣0=∣{(i,j)}∣xij≠0∣||\mathbf{X}||_0=|\{(i,j)\}|x_{ij}\ne0|∣∣X∣∣0​=∣{(i,j)}∣xij​​=0∣
$||\mathbf{X}|{|}_0=4$

$l_1范数：$
$||\mathbf{X}|{|}_1=\sum _{i,j}|x_{ij}|$
$||\mathbf{X}|{|}_1=10$

$l_2范数：$
$||\mathbf{X}|{|}_2=\sqrt{\sum _{i,j}{x}_{ij}^2}$
$||\mathbf{X}|{|}_2^2=\sum _{i,j}{x}_{ij}^2$
$||\mathbf{X}|{|}_2=\sqrt{30}$
$||\mathbf{X}|{|}_2^2=30$

$l_{\infty }范数：$
$||\mathbf{X}|{|}_{\infty }=\underset{i,j}{\max }|x_{ij}|$
$||\mathbf{X}|{|}_{\infty }=4$

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作业四

解释 推荐系统: 问题、算法与研究思路 2.1 中的优化目标 $\min \sum _{(i,j)\in \Omega }(f({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{t}}_i)-r_{ij}{)}^2$各符号及含义.

答：
$x_i是用户信息表的第i条数据.$
$t_i是商品信息表的第j条数据$
$r_{ij}是评分矩阵中第i个用户对第j个商品的真实评分$
$f(x_i,t_j)是预测函数，用来预测第i个用户对第j个商品的评分$
$\sum _{(i,j)\in \Omega }(f({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{t}}_i)-r_{ij}{)}^2表示将每个用户对每个商品的预测评分减去真实评分得到的差值平方后再相加$
$\min 则表示需要差值最小，得到最优的模型$

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