【模板】Spfa

Spfa是解决含有负权边的最短路径问题的算法,其时间复杂度介于O(m)到O(n*m)之间,空间复杂度为O(n)。该算法是对Bellman_Ford的优化,通过队列来管理可能优化最短路径的节点,以提高效率。文章提供主要代码示例。

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Spfa

给定一个n个点m条边的有向图,图中可能存在重边和自环, 边权可能为负数。

请你求出1号点到n号点的最短距离,如果无法从1号点走到n号点,则输出impossible。

数据保证不存在负权回路。

输入格式
第一行包含整数n和m。

接下来m行每行包含三个整数x,y,z,表示存在一条从点x到点y的有向边,边长为z。

输出格式
输出一个整数,表示1号点到n号点的最短距离。

如果路径不存在,则输出”impossible”。

数据范围
1≤n,m≤105,
图中涉及边长绝对值均不超过10000。

输入样例:
3 3
1 2 5
2 3 -3
1 3 4
输出样例:
2

Spfa是一种求有负数的最短路算法

时间复杂度: O(m) ~ O(n*m) 不稳定

空间复杂度:O(n)

总的来说,Spfa就是Bellman_Ford算法的优化,所已看这篇文章前推荐看一下这篇文章:

【模板】Bellman_Ford

Spfa就是定义一个队列,将所有有可能能优化最短路的点全都放进去,最后拿出来一个个判断就可以了

主要代码如下:

void Spfa()
{
   
   
	memset(dist,0x3f,sizeof dist);
	dist[1]=0;
	queue<int> q;
	q.push(1);
	st[1]=true;
	while(!q.empty())
	
### SPFA算法简介 SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)是一种用于求解单源最短路径的改进型Bellman-Ford算法。它通过队列优化来减少冗余计算,从而提高效率。对于差分约束系统的求解,可以通过构建图模型并运行SPFA算法找到满足件的一组解。 以下是基于Python实现的一个标准SPFA算法模板: ```python from collections import deque def spfa(n, edges, start_node): """ :param n: 节点数量 :param edges: 列表 [(u, v, w)] 表示从 u 到 v 的权为 w :param start_node: 起始节点编号 :return: dist 数组表示从起始节点到其他各节点的距离;如果存在负环,则返回 None """ INF = float('inf') dist = [INF] * (n + 1) # 初始化距离数组 in_queue = [False] * (n + 1) # 记录节点是否在队列中 cnt = [0] * (n + 1) # 统计进入队列次数,用于检测负环 queue = deque() dist[start_node] = 0 # 设置起点距离为0 queue.append(start_node) in_queue[start_node] = True while queue: node = queue.popleft() in_queue[node] = False for neighbor, weight in edges.get(node, []): # 遍历当前节点的所有邻居 if dist[neighbor] > dist[node] + weight: # 松弛操作 dist[neighbor] = dist[node] + weight if not in_queue[neighbor]: queue.append(neighbor) in_queue[neighbor] = True cnt[neighbor] += 1 if cnt[neighbor] >= n: # 如果某个节点入队超过n次,则说明存在负环 return None # 存在负环,无法继续计算 return dist ``` 上述代码实现了SPFA的核心逻辑,并能够判断是否存在负权回路[^1]。当`cnt[neighbor] >= n`时,意味着该节点被访问了过多次数,因此可以断定图中存在负权循环。 ### 差分约束系统中的应用 为了利用SPFA解决差分约束问题,通常需要将一组线性不等式转化为有向加权图上的最短路径问题。具体而言,给定一系列形如 \(x_i - x_j \leq c_k\) 的不等式,可将其转换成对应的图结构并通过SPFA算法验证其可行性或寻找最优解集。 #### 特殊情况处理——恒等关系 针对特定形式的关系表达式\(xi = k\),可以直接初始化对应顶点的距离值而无需额外考虑松弛过程的影响。
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