斐波那契矩阵

本文介绍了一种使用矩阵快速幂算法高效计算斐波那契数列的方法。通过定义特定的矩阵并利用快速幂技巧,可以大幅度减少计算复杂度,适用于处理大规模数值的情况。

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//0,1起始的斐波那契数列
#include<stdio.h>
const int MOD=1e9+7;
struct matrix{
    int x,y,**s;
    void init(const int &a,const int &b){
        x=a;y=b;
        s=new int*[a];
        for(int i=0;i<a;i++){
            s[i]=new int[b];
        }
    }
};
void mat_multi(const matrix m1,const matrix m2,matrix &m3){
    m3.init(m1.x,m2.y);
    for(int i=0;i<m1.x;i++){
        for(int j=0;j<m2.y;j++){
            m3.s[i][j]=0;
            for(int k=0;k<m1.y;k++){
                m3.s[i][j]+=m1.s[i][k]*m2.s[k][j];
            }
        }
    }
}
void mat_input(matrix &m){
    int dx,dy;
    scanf("%d%d",&dx,&dy);
    m.init(dx,dy);
    for(int i=0;i<m.x;i++){
        for(int j=0;j<m.y;j++){
            scanf("%d",&m.s[i][j]);
        }
    }
}
int mat_print(const matrix &m){
    for(int i=0;i<m.x;i++){
        for(int j=0;j<m.y;j++){
            printf("%d ",m.s[i][j]);
        }
        putchar('\n');
    }
}
matrix mat_pow(matrix mx,const int k){
    if(k==1)return mx;
    matrix mt;
    mt.init(2,2);
    mat_multi(mat_pow(mx,k/2),mat_pow(mx,k/2),mt);
    if(k&1) mat_multi(mt,mx,mt);
    return mt;
}

int main(){
    int a,b,k;
    scanf("%d%d%d",&a,&b,&k);
    matrix M,m0;

    M.init(1,2);
    M.s[0][0]=a;
    M.s[0][1]=b;
    m0.init(2,2);
    m0.s[0][0]=m0.s[0][1]=m0.s[1][0]=1;
    m0.s[1][1]=0;

    m0=mat_pow(m0,k);
    mat_multi(M,m0,M);

    printf("%d",M.s[0][1]);

}
//测试组
#include<stdio.h>
const int MOD=1e9+7;
struct matrix{
    int x,y,**s;
    void init(const int &a,const int &b){
        x=a;y=b;
        s=new int*[a];
        for(int i=0;i<a;i++){
            s[i]=new int[b];
        }
    }
};
void mat_multi(const matrix m1,const matrix m2,matrix &m3){
    m3.init(m1.x,m2.y);
    for(int i=0;i<m1.x;i++){
        for(int j=0;j<m2.y;j++){
            m3.s[i][j]=0;
            for(int k=0;k<m1.y;k++){
                m3.s[i][j]+=m1.s[i][k]*m2.s[k][j];
            }
        }
    }
}
void mat_input(matrix &m){
    int dx,dy;
    scanf("%d%d",&dx,&dy);
    m.init(dx,dy);
    for(int i=0;i<m.x;i++){
        for(int j=0;j<m.y;j++){
            scanf("%d",&m.s[i][j]);
        }
    }
}
int mat_print(const matrix &m){
    for(int i=0;i<m.x;i++){
        for(int j=0;j<m.y;j++){
            printf("%d ",m.s[i][j]);
        }
        putchar('\n');
    }
}
matrix mat_pow(matrix mx,const int k){
    if(k==1)return mx;
    matrix mt;
    mt.init(2,2);
    mat_multi(mat_pow(mx,k/2),mat_pow(mx,k/2),mt);
    if(k&1) mat_multi(mt,mx,mt);
    return mt;
}

void std_fib(int a,int b,int k){
    int u=a,v=b;
    while((k--)>0){
        printf("%d ",u);u+=v;
        if((k--)>0){
            printf("%d ",v);v+=u;
        }
    }
    printf("\n");
}
int main(){
    int a,b,k0;
    scanf("%d%d%d",&a,&b,&k0);
    for(int k=1;k<=k0;k++){
        matrix M,m0;

        M.init(1,2);
        M.s[0][0]=a;
        M.s[0][1]=b;
        m0.init(2,2);
        m0.s[0][0]=m0.s[0][1]=m0.s[1][0]=1;
        m0.s[1][1]=0;

        m0=mat_pow(m0,k);
        mat_multi(M,m0,M);

        printf("%d ",M.s[0][1]);
    }
    printf("\n");
    std_fib(a,b,k0);

}
### C++ 实现 Fibonacci 数列的矩阵快速幂算法 以下是一个基于矩阵快速幂方法实现的 C++ 示例代码,用于高效计算斐波那契数列的第 \( n \) 项。此方法的时间复杂度为 \( O(\log{n}) \),相较于传统的线性迭代方法更加高效。 ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; const long long MOD = 1e9 + 7; // 定义矩阵结构体 struct Matrix { vector<vector<long long>> data; int rows, cols; Matrix(int r, int c) : rows(r), cols(c), data(vector<vector<long long>>(r, vector<long long>(c, 0))) {} }; // 矩阵乘法函数 Matrix multiply(const Matrix& a, const Matrix& b) { Matrix res(a.rows, b.cols); for (int i = 0; i < a.rows; ++i) { for (int j = 0; j < b.cols; ++j) { for (int k = 0; k < a.cols; ++k) { res.data[i][j] = (res.data[i][j] + a.data[i][k] * b.data[k][j]) % MOD; } } } return res; } // 矩阵快速幂函数 Matrix matrixPower(Matrix base, long long exp) { Matrix res(base.rows, base.cols); for (int i = 0; i < base.rows; ++i) res.data[i][i] = 1; // 初始化单位矩阵 while (exp > 0) { if (exp % 2 == 1) { res = multiply(res, base); } base = multiply(base, base); exp /= 2; } return res; } long long fibonacci(long long n) { if (n == 0) return 0; if (n == 1) return 1; Matrix T(2, 2); // 转移矩阵 [[1, 1], [1, 0]] T.data[0][0] = 1; T.data[0][1] = 1; T.data[1][0] = 1; T.data[1][1] = 0; Matrix F(2, 1); // 初始状态向量 [[1], [0]] F.data[0][0] = 1; F.data[1][0] = 0; T = matrixPower(T, n - 1); // 计算T^(n-1) F = multiply(T, F); return F.data[0][0]; // 返回结果即为F[n] } int main() { long long n; cin >> n; cout << "Fibonacci number at position " << n << " is: " << fibonacci(n) << endl; return 0; } ``` #### 解析 1. **矩阵定义** 使用 `Matrix` 结构体表示二维矩阵,并支持初始化和存储操作[^4]。 2. **矩阵乘法** 函数 `multiply` 实现两个矩阵之间的乘法运算,同时对结果取模以防止溢出[^3]。 3. **矩阵快速幂** 函数 `matrixPower` 借助分治思想实现了高效的矩阵幂次计算,其核心逻辑类似于整数快速幂算法[^2]。 4. **初始条件与转移矩阵** 斐波那契数列的状态可以通过如下关系表达: \[ \begin{bmatrix} f_{n+1} \\ f_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^n \cdot \begin{bmatrix} f_1 \\ f_0 \end{bmatrix} \] 5. **最终结果提取** 对于输入 \( n \geq 2 \),通过计算 \( T^{n-1} \times F \) 得到目标值 \( f_n \)[^5]。 --- ###
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