线性递归序列与椭圆曲线映射问题解析

32、设G : {0, 1}^l →{0, 1}^m 是由l阶线性递归序列{sn}定义的比特生成器。G是伪随机的吗？

不是。使用 $ l $ 阶线性递归序列理论构造的比特生成器密码学上不安全，因为知道长度为 $ 2l $ 的子序列就能恢复该序列，所以不是伪随机的。

33、设Ens(Q)是曲线y² = x²(x - 4)上非奇异点构成的群，θ : Ens(Q) → G₋₄(Q)是定义为θ(x, y) = ((y² - 4x²) / (y² + 4x²), 2xy / (y² + 4x²))，θ(O) = (1, 0)的同构映射。(a) 计算θ(5, -5)。(b) 求(0, 1/2)∈G₋₄(Q)在θ下的原像。

以下是调整为 Markdown 格式的内容：

(a) 将 $ x = 5 $，$ y = -5 $ 代入 $ \theta(x, y) $ 可得
$$
\theta(5, -5) = \left( \frac{(-5)^2 - 4 \times 5^2}{(-5)^2 + 4 \times 5^2}, \frac{2 \times 5 \times (-5)}{(-5)^2 + 4 \times 5^2} \right) = \left( -\frac{3}{5}, -\frac{2}{5} \right)
$$

(b) 设原像为 $ (x, y) $，则
$$
\frac{y^2 - 4x^2}{y^2 + 4x^2} = 0, \quad \frac{2xy}{y^2 + 4x^2} = \frac{1}{2}
$$
由
$$
\frac{y^2 - 4x^2}{y^2 + 4x^2} = 0
$$
得 $ y^2 = 4x^2 $，即 $ y = \pm 2x $。

当 $ y = 2x $ 时，代入
$$
\frac{2xy}{y^2 + 4x^2} = \frac{1}{2}
$$
得
$$
\frac{4x^2}{8x^2} = \frac{1}{