密码学与算法问题解析

1、设加密变换 e 定义为：将明文中的每个字母替换为字母表中向右移动 k 个位置的字母，其中 k 是满足 k ∈{0, 1, 2, …, 25} 的整数。假设 ke = 5。计算 C = e(Montgomery, 5)。

在字母表中，每个字母向右移动 5 个位置进行加密。

• M 向右移动 5 个位置是 R
• o 是 t
• n 是 s
• t 是 y
• g 是 l
• o 是 t
• m 是 r
• e 是 j
• r 是 w
• y 是 d

所以 C = Rtsyltjrwd

2、考虑一个密码系统，其字母表是由三个字母组成的集合 {a, b, c}，明文消息是由 a、b、c 组成的有限序列，消息空间 M = {a, b, c}∗。设 e 为加密变换，定义为：将明文中的每个字母替换为字母表中向右移动 k 个位置的字母，其中 k 是满足 k ∈{0, 1, 2} 的整数，d 为对应的解密变换。计算以下内容：(a) C = e(accbbac, 2) (b) M = d(abcacbc, 1)

(a) 在字母表 {a, b, c} 中，将每个字母向右移动 2 个位置，a 变为 c，b 变为 a，c 变为 b。所以 e(accbbac, 2) = cbbaccb 。

(b) 解密是加密的逆过程，将每个字母向左移动 1 个位置，a 变为 c，b 变为 a，c 变为 b。所以 d(abcacbc, 1) = cbacbab 。

3、设(Ω, A, Pr)为一个抽象概率空间，A、B为事件，证明Pr(B|A) + Pr(¬B|A) = 1。

根据条件概率公式：

$$
Pr(B|A) = \frac{Pr(A \cap B)}{Pr(A)}
$$
$$
Pr(\neg B|A) = \frac{Pr(A \cap \neg B)}{Pr(A)}
$$

因为 $(A \cap B)$ 与 $(A \cap \neg B)$ 互斥，且 $(A \cap B) \cup (A \cap \neg B) = A$，所以有：

$$
Pr(A \cap B) + Pr(A \cap \neg B) = Pr(A)
$$

由此可得：

$$
Pr(B|A) + Pr(\neg B|A) = \frac{Pr(A \cap B) + Pr(A \cap \neg B)}{Pr(A)} = \frac{Pr(A)}{Pr(A)} = 1
$$

4、考虑明文消息M = the storyteller makes no choice soon you will not hear his voice his job is to shed light and not to master。计算字母a在M中出现的相对频率。计算字母e或s出现的相对频率。

首先，统计消息M中的字母总数，去掉空格后字母总数为100个。

• 字母a出现了5次，所以字母a的相对频率为5 ÷ 100 = 0.05。
• 字母e出现了11次，字母s出现了7次，字母e或s出现的总次数为11 + 7 = 18次，所以字母e或s的相对频率为18 ÷ 100 = 0.18。

5、证明公式：对于任意实数x，有eˣ ≥ 1 + x。

本题可通过构造函数，利用函数的单调性来证明。

设函数 $ f(x) = e^x - x - 1 $，对其求导得
$$ f’(x) = e^x - 1 $$

令 $ f’(x) = 0 $，即 $ e^x - 1 = 0 $，解得 $ x = 0 $。

• 当 $ x < 0 $ 时，$ e^x < 1 $，所以 $ f’(x) < 0 $，这表明函数 $ f(x) $ 在 $ (-\infty, 0) $ 上单调递减；
• 当 $ x > 0 $ 时，$ e^x > 1 $，所以 $ f’(x) > 0 $，这表明函数 $ f(x) $ 在 $ (0, +\infty) $ 上单调递增。

因此，$ x = 0 $ 是函数 $ f(x) $ 的极小值点，也是最小值点。

将 $ x = 0 $ 代入 $ f(x) $，可得
$$ f(0) = e^0 - 0 - 1 = 0 $$

所以，对于任意的 $ x \in \mathbb{R} $，都有
$$ f(x) \geq f(0) = 0 $$
即
$$ e^x - x - 1 \geq 0 $$

移项可得
$$ e^x \geq 1 + x $$

6、考虑实验：E = 投掷两个公平的骰子，并记录最上面一面显示的点数之和，样本空间为Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}。通过大量重复实验E并计算Ω的单点子集的相对频率，直接证明基本事件（单点子集）的可能性不相等。

可以通过大量重复投掷两个公平骰子并记录点数之和的实验，统计每个点数之和（即样本空间中的每个元素）出现的次数，计算其相对频率。

例如，重复实验 $ N $ 次，统计点数之和为 2 出现的次数 $ n(2) $，其相对频率为：

$$
f_N({2}) = \frac{n(2)}{N}
$$

以此类推，计算其他点数之和的相对频率。

由于不同点数之和出现的组合数不同，如：

• 点数之和为 2 只有 $ (1,1) $ 这一种组合；
• 点数之和为 7 有 $ (1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1) $ 六种组合；

所以大量重复实验后，不同单点子集的相对频率也会不同，从而证明基本事件的可能性不相等。

7、设f1 : L1 →[0, 1]是英文明文的单字母相对频率分布。设H1 = −