【统计学】协方差矩阵基础知识和代码实例

已于 2023-08-18 14:13:44 修改
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分类专栏： AI人工智能与大数据 深度学习实战 文章标签： 自然语言处理 人工智能 语言模型 编程实践 开发语言 架构设计
于 2023-08-18 11:25:38 首次发布
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本文介绍了协方差矩阵的基础知识，包括协方差的定义、意义以及与相关系数的关系。文章详细阐述了方差和协方差的概念，解释了它们在衡量变量变化和线性相关性上的作用。并通过Python的NumPy和pandas库展示了如何计算方差和协方差矩阵，提供具体的代码实例。

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作者：禅与计算机程序设计艺术

1.简介

在机器学习中，我们会用到多种统计方法。其中，协方差(covariance)和相关系数(correlation coefficient)是最常用的两个统计量。它们都属于线性代数中的概念。虽然名字不一样，但是二者其实都是用来衡量变量之间的关系。假设我们有两个变量X和Y，假设样本容量n，且已知各自独立同分布。那么，协方差公式可以表示为：

1n∑i=1n(xi−x‾)(yi−y‾),\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline x)(y_i - \overline y),

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python手写代码计算协方差矩阵
python小枫的博客
04-08 1537
python手撕代码实现协方差矩阵计算
22协方差矩阵 matlab,协方差&协方差矩阵【matlab实例】
weixin_35728089的博客
03-17 1501
[今天看论文的时候又看到了协方差矩阵这个破东西，以前看模式分类的时候就特困扰，没想到现在还是搞不清楚，索性开始查协方差矩阵的资料，恶补之后决定马上记录下来，嘿嘿~协方差矩阵协方差也只能处理二维问题，那维数多了自然就需要计算多个协方差，比如n维的数据集就需要计算 n!(n−2)!∗2 个协方差，那自然而然我们会想到使用矩阵来组织这些数据。给出协方差矩阵的定义：Cn∗n=(ci,j,ci,j=cov(...
协方差矩阵的实例与意义
仰望星空的麦兜
04-28 1万+
在机器学习中经常需要计算协方差矩阵，本科时没学过这个概念，一直对此非常头疼。现在试图通过实例的计算、图形化的表示来梳理一下什么是协方差矩阵。 A numerical example 问题： 有一组数据（如下），分别为二维向量，这四个数据对应的协方差矩阵是多少？ 解答： 由于数据是二维的，所以协方差矩阵是一个2*2的矩阵，矩阵的每个元素为： 元素(i,j)
C语言实现协方差矩阵
weixin_41815482的博客
01-20 2035
最近在理解机器学习中的PCA降维算法，其中使用协方差矩阵。什么是些方差矩阵，这里不做多介绍。作为软件工程师，理解算法原理是一回事，没有亲自编码实践总觉得缺了什么。 现将自己C语言实现协方差矩阵代码如下 #include<stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> void TransposeMatrix(i...
OpenCV源码解析：协方差矩阵的计算--calcCovarMatrix
tanmx219的博客
08-11 4753
协方差矩阵 在统计学与概率论中，协方差是指两个向量元素之间的相关性。 设为n维随机变量 方差的定义为： 当存在两个随机变量X，Y时，其各个维度偏离其均值的程度就可以用协方差来定义： 在物理上的理解，你可以认为协方差是指两个向量之相互影响的程度，单从数值上来看，协方差的数值越大，表示两个变量对其均值的变化同向的程度越大。 当随机变量有多个的时候，一般不再使用X，Y这样的表述...
协方差、协方差矩阵、PCA的理解（附python代码）
fengmaomao1991的专栏
07-21 3450
协方差，协方差矩阵的理解（附python代码）均值、方差、标准差协方差协方差矩阵 均值、方差、标准差 均值描述的是样本集合的中间点，标准差描述的是各个样本点到均值的距离之平均。方差则仅仅是标准差的平方。 均值：Xˉ=∑i=1nXin\bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^n{X_i}}{n}Xˉ=n∑i=1n​Xi​​ 标准差：S=∑i=1n(Xi−Xˉ)2n−1S=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n({X_i-\bar{X}})^2}{n-1}}S=n−1∑i=1n​(Xi​−Xˉ
大维协方差矩阵和高维数据分析-姚郑白等著.pdf
01-16
姚郑白等学者在其著作《大维协方差矩阵和高维数据分析》中，对这一问题提出了全新的理论框架——随机矩阵理论（Random Matrix Theory, RMT）。本书详细介绍了RMT在高维数据分析中的应用，尤其关注了RMT中实用工具的...
python协方差矩阵_协方差矩阵的python实现
weixin_39611275的博客
12-13 5602
学过概率统计的孩子都知道，统计里最基本的概念就是样本的均值，方差，或者再加个标准差。首先我们给你一个含有n个样本的集合，依次给出这些概念的公式描述，这些高中学过数学的孩子都应该知道吧，一带而过。 很显然，均值描述的是样本集合的中间点，它告诉我们的信息是很有限的，而标准差给我们描述的则是样本集合的各个样本点到均值的距离之平均。以这两个集合为例，[0，8，12，20]和[8，9，11，12]，两个集合...
统计学中的矩阵分析：掌握协方差矩阵与相关性的3个技巧
本文全面探讨了矩阵分析的基础概念及其在统计学中的应用，特别关注协方差矩阵与相关性的理论与计算技巧。通过深入分析协方差矩阵的定义、计算方法以及在数据分析中的应用，本文揭示了其在多变量分析和降维技术中的...
协方差及协方差矩阵
Liam Liu的博客
11-03 190
协方差 协方差矩阵
VIVADO vhdl verilog 实现矩阵运算
jingjiankai5228的博客
05-05 8525
FPGA开发过程中可能用到矩阵算法运算，这里介绍一个相对比较简单的方式 比如一个32*32的矩阵结构为： 我们可以用两个RAM和一个运算单元及一个输出缓存RAM进行缓存结果： 具体的框架为下入所示： 存放的顺序为： 程序主要就是地址的控制了，我们可以用3个简单的计数器，通过控制好取数的坐标即可： 注意高低位的顺序， 验证：对于这种大位宽的数据运算的设计，最好借用matlab产生测试数据，然...
FPGA----FPGA中术语及verilog矩阵乘法及VHLS（Vivado HLS）最近不能产生IP的解决方案
qq_37912811的博客
01-05 3306
1、由于实现了暂态程序中电压初始化的求解，想看看占用板卡资源就尝试综合了以下程序，于是看到了报表后一头雾水。 LUT指的是查找表，FF指的是触发器（可以存储1bit的数据）。看了上图我们知道FF占用很多，但实际的资源也很大（但是将来可能需要解决两块板子的级联问题）。 相关属于请参考这篇文章，写的很是详细： Vivado HLS 三：基本概念（lut、latch、ff、RAM、ROM、FIFO等）_不缺席的阳光的博客-优快云博客_vivado中lut ...
python算法专项（五）——numpy基础、数据保存，方差、标准差、协方差、协方差矩阵
静以修身，简以养德
03-10 2735
目录numpy基础matplotlib 绘图随机数生成用tensorflow进行样本拟合 numpy基础 定义一个数组 >>> import numpy as np >>> a = np.array([2,7,4,3])#传入列表定义 >>> a array([2, 7, 4, 3]) >>> a = np.zeros([2,3])#用形状 >>> a array([[0., 0., 0.], [0.,
协方差矩阵python代码
weixin_42507297的博客
08-08 303
使用Python计算协方差矩阵的指南 在数据分析和统计学中，协方差矩阵是描述多个随机变量之间关系的重要工具。本文旨在帮助你理解并实现协方差矩阵的计算，特别适合刚入行的小白开发者。我们将逐步介绍每一个操作，并提供相应的Python代码。 流程概述 首先，我们来理解实现协方差矩阵的整体流程。下面是一个简单的步骤表： 登录后复制...
协方差、样本协方差、协方差矩阵、相关系数详解（python代码）
人工智能算法与工程实践
04-20 2万+
对于一个随机变量的分布特征，可以由均值、方差、标准差等进行描述。而对于两个随机变量的情况，有协方差和相关系数来描述两个随机变量的相互关系。 本文主要参考概率论与数理统计的教科书，整理了协方差、样本协方差、协方差矩阵、相关系数的概念解释和代码。 协方差（covariance） 协方差的概念来自概率论，实际应用中的样本协方差则与统计学概念有关。 协方差反应了随机变量X、YX、YX、Y之间“协同”变化的关系。也可以说，协方差在某种意义上给出了两个变量线性相关性的强度以及这些变量的尺度。
协方差矩阵数学原理，numpy计算协方差矩阵(np.cov)函数详解与源码剖析
Codefmeister's BLOG
11-22 1万+
协方差矩阵详解以及numpy计算协方差矩阵(np.cov) 协方差矩阵详解 均值，标准差与方差 由简单的统计学基础知识，我们有如下公式： Xˉ=∑i=1nXin\bar X{\rm{ = }}\frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{X_i}} }}{{\rm{n}}}Xˉ=ni=1∑n​Xi​​ S=∑i=1n(Xi−Xˉ)2n−1S = \sqrt {\frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{{({X_i} - \bar X)}^2}} }}{{n - 1}}}S
协方差矩阵的几何解释
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介绍在本文中，我们通过探索线性变换与所得数据协方差之间的关系提供协方差矩阵一个直观的几何解释。大部分教科书基于协方差矩阵的概念解释数据的形状。相反，我们采取一个反向的方法，根据数据的形状来解释协方差矩阵的概念。在《为什么样本方差除以N-1？》的文章中，我们会讨论方差的概念，并提供了众所周知的估算样本方差公式的推导和证明。这篇文章中使用的图1表明标准差（方差的平方根）提供了数据在特征空间上传播多少的量
什么是协方差/协方差矩阵/矩阵特征值
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一、统计学的基本概念 统计学里最基本的概念就是样本的均值、方差、标准差。首先，我们给定一个含有n个样本的集合，下面给出这些概念的公式描述： 均值： 标准差： 方差： 均值描述的是样本集合的中间点，它告诉我们的信息是有限的，而标准差给我们描述的是样本集合的各个样本点到均值的距离之平均。 以这两个集合为例，[0, 8, 12, 20]和[
举例说明协方差矩阵的运算
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均值，方差，协方差的运算公式举例说明代码演示import numpy as np a = np.mat([[10, 15, 29], [15, 46, 13], [23, 21, 30], [11, 9, 35]]) a_mean = a.mean(axis = 0) # 求每列的均值 a_d_mean = a - a_mean # 去均值的矩阵 cov_x_y = np.dot(a_d_mean...
核函数和协方差矩阵
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### 核函数与协方差矩阵的关系 在机器学习和统计学领域，核函数（Kernel Function）与协方差矩阵之间存在紧密联系。这种联系主要体现在高斯过程回归（Gaussian Process Regression）、支持向量机（Support Vector Machine, SVM），以及某些降维技术中。 #### 高斯过程中的核函数与协方差矩阵 在高斯过程中，核函数被用来定义协方差矩阵的形式。具体来说，给定一组输入数据 \( \{x_1, x_2, ..., x_n\} \)，通过核函数 \( k(x_i, x_j) \) 可以计算任意两点之间的相似度或相关性[^1]。这使得协方差矩阵 \( K \) 的第 (i,j) 项由下式给出： \[ K_{ij} = k(x_i, x_j) \] 常见的核函数包括径向基函数（RBF Kernel）、多项式核、线性核等。这些核函数的选择直接影响了模型对数据分布的学习能力。例如，在 RBF 核的情况下，\( k(x_i, x_j) = \exp(-\frac{\|x_i - x_j\|^2}{2l^2}) \)[^1]，其中参数 \( l \) 控制着平滑程度。 #### 支持向量机中的核技巧 虽然支持向量机本身并不显式涉及协方差矩阵，但它利用了类似的思路——即通过核函数隐式映射原始特征空间到更高维度的空间。这一过程实际上也可以理解为一种特殊的协方差结构设计[^4]。在这种情况下，核函数的作用在于衡量样本间的相对位置关系而非绝对距离。 #### 主成分分析中的潜在关联 尽管传统 PCA 不直接依赖于核函数的概念，但在核主成分分析（Kernel Principal Component Analysis, KPCA）中引入了类似的思想。KPCA 利用了 Mercer 定理下的正定核来扩展标准 PCA 方法的能力范围，从而能够捕捉非线性的模式[^3]。这里所使用的核同样可以视为某种形式化的协方差表达方式。 ```python import numpy as np def rbf_kernel(X, Y=None, gamma=None): """ 计算X,Y间基于RBF的核矩阵. 参数: X : array-like of shape (n_samples_X, n_features) 输入数据集之一 Y : array-like of shape (n_samples_Y, n_features), optional(default is None) 如果未提供则默认Y=X gamma : float, default=None RBF kernel parameter 返回值: Gram matrix G where element[i,j]=k(xi,yj). 注释: 此处仅展示基本实现逻辑。 """ if Y is None: Y = X if gamma is None: gamma = 1.0 / X.shape[1] pairwise_dists_sqrd = ((np.expand_dims(X,axis=1)-np.expand_dims(Y.T,axis=0))**2).sum(axis=-1) return np.exp(-gamma * pairwise_dists_sqrd) # 示例调用 data_points = np.array([[1., 2.], [3., 4.]]) kernel_matrix = rbf_kernel(data_points) print(kernel_matrix) ``` 以上代码片段展示了如何使用 Python 实现简单的 RBF 核函数并生成相应的核/协方差矩阵实例[^1]。 ### 总结 综上所述，无论是从理论角度还是实际应用层面来看，核函数都扮演着构建或者替代经典意义上协方差矩阵的重要角色。特别是在那些需要灵活建模复杂概率分布的任务里，比如高斯过程建模或是非线性分类问题解决等方面表现尤为突出。
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