关于确界的一些知识点

数学分析：上下确界定义与确界定理解析
最新推荐文章于 2020-12-24 08:54:37 发布
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分类专栏： 数学分析
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/universe_1207/article/details/96997278
本文介绍了上下确界的定义，并详细阐述了确界定理，即非空且有上界的集合必有上确界，有下界的集合必有下确界。通过一个具体的题目，讨论如何利用最基础的定义证明函数在区间上的确界性质，强调对定义熟练掌握的重要性。

上下确界的定义

设 S S S是一个数集，若 η \eta η满足：

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关于确界的一些习题与结论
universe_1207的博客
11-05 1313
文章目录不等式1证明等式1证明不等式2证明不等式3证明不等式4 关于确界的一些知识点 不等式1 infx∈Df(x)+infx∈Dg(x)≤infx∈D{f(x)+g(x)}\mathop{inf}\limits_{x\in D}f(x)+\mathop{inf}\limits_{x\in D}g(x)\le\mathop{inf}\limits_{x\in D}\{f(x)+g(x)\}x∈D...
多元函数——可微性
universe_1207的博客
10-01 2万+
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最优化之凸集、凸函数、上确界、Jensen不等式、共轭函数、Fenchel不等式、拉格朗日乘子法、KKT条件
dqhl1990的博客
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最优化之凸集、凸函数、上确界 1.直线的向量表达 1.1 共线定理 对于任意两个向量a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b}a,b且b⃗≠0\vec{b} \neq 0b̸​=0，当a⃗∣∣b⃗\vec{a}||\vec{b}a∣∣b时，存在唯一实数λ\lambdaλ，使得a⃗=λb⃗\vec{a}=\lambda \vec{b}a=λb 1.2 共面定理 如果两个向量a⃗,b⃗\vec{a}...
函数的上确界和下确界
Mr.Daozhi的博客
12-22 1万+
The Supremum and Infimum of a Function    
sup（上确界）和inf（下确界）的理解
qq_42745340的博客
02-24 2万+
sup（上确界）的定义：一个集合的最小上界 inf （下确界）的定义：一个集合的最大下界 有可能某个有界函数，没有最大值和最小值，但是有上确界和下确界。 例如函数f（x）=x（x∈（1，2）） 因为这个函数的定义域是个开区间（1,2） 这个函数没有最大值和最小值。 当x无限趋近于1的时候，f（x）无限趋近于1，但是无法等于1，没有最小值。 当x无限趋近于2的时候，f（x）无限趋近于2，但是无法等于...
算法导论阅读笔记——渐进表示法（2）
qq_43305940的博客
01-18 2095
算法导论阅读笔记——渐进表示法（2） 1.Θ表示法： 上一篇讲到了大O表示法以及大Ω表示法 而大Θ表示法是大O与大Ω表示同一个函数g（n）的 情况 即f（n）=O（g（n））=Ω（g（n））是f（n）=Θ（g（n））的充分条件 其精确的数学语言表示是 满足O与Ω的数学表示的交集情况： 对于正的常数c1，c2（任取一个）存在n0 有c1g（n）<=f（n）<=c2g（n） 在n&g...
定积分及其应用知识点总结_定积分知识点总结.doc
weixin_39796152的博客
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定积分知识点总结定积分知识点总结北京航空航天大学李权州定积分定义与基本性质1.定积分定义 设有一函数f(x)给定在某一区间[a,b]上. 我们在a与b之间插入一些分点. 而将该区间任意分为若干段. 以表示差数中最大者.在每个分区间中各取一个任意的点.而做成总和然后建立这个总和的极限概念：另用语言进行定义：，，在时，恒有则称该总和在时有极限.总和在时的极限即f(x)在区间a到b上的定积分，符号表示...
数学分析(二)知识点总结.ppt
10-12
数学分析（二）知识点总结 数学分析（二）是数学分析的第二部分，涵盖了实数完备性、数学分析的基本定理、数学分析的应用等方面的知识。本文将对数学分析（二）的知识点进行总结，涵盖了实数完备性的六个基本定理、...
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### 离散数学知识点总结 #### 一、命题逻辑 - **逻辑连接词**： - **条件（→）**：只有当前件为真而后件为假时才为假。 - **异或（⊕）**：当前件与后件不同时为真。 - **范式**： - **主析取范式**：将所有...
上确界之我的理解
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上确界之我的理解上界：给定一个集合A，里面的元素有限，如若里面的元素都比一个值M小，那么M就是集合A的一个上界。 上确界：我们知道这样的上界不是一个，最小的那个就是集合A的上确界，记为supA。 数学描述：
上确界，下确界
dalangtaosha999的博客
09-06 7578
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一图搞懂 sup：上确界, inf：下确界
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sup(X)是取上限函数，inf(X) 是取下限函数。 sup是supremum的简写，意思是：上确界，最小上界。 inf是infimum的简写，意思是：下确界，最大下界。 一、上确界： 上确界是一个集的最小上界，是数学分析中最基本的概念。“上确界”的概念是数学分析中最基本的概念。 考虑一个实数集合M. 如果有一个实数S，使得M中任何数都不超过S,那么就称S是M的一个上界。 在所有那些上界中如果有一个最小的上界，就称为M的上确界。 一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个。 二、下确界：.
数学-上确界与下确界概念
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Stolz公式
universe_1207的博客
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universe_1207的博客
07-25 1万+
归结原则（又称海涅定理） f在U0(x0;δ′)上有定义f在U^0(x_0;\delta&#x27;)上有定义f在U0(x0​;δ′)上有定义，lim⁡x→x0f(x)存在的充要条件是\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)存在的充要条件是x→x0​lim​f(x)存在的充要条件是 ∀{xn}⊂U0(x0;δ′)\forall \{x_n\}\subset ...
关于p分数反常积分的收敛与发散
universe_1207的博客
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文章目录在(0,1]上的瑕积分在$[1,+\infty)$上的无穷限反常积分结论 p分数的积分：∫1xpdx\int\frac1{x^p}dx∫xp1​dx 在(0,1]上的瑕积分 ∫011xpdx=lim⁡u→0+∫u11xpdx\int_0^1\frac1{x^p}dx=\lim\limits_{u\to0^+}\int_u^1\frac1{x^p}dx∫01​xp1​dx=u→0+lim​∫...
数列收敛发散的定义
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文章目录数列极限的$\varepsilon-N$定义收敛等价定义无穷小数列定理2.1无穷大数列（发散） 数列极限的ε−N\varepsilon-Nε−N定义 对∀ε&gt;0,都∃N∈N∗,当n&gt;N\forall\varepsilon&gt;0,都\exists N\in N^*,当n&gt;N∀ε>0,都∃N∈N∗,当n>N时有 ∣an−a∣&a...
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universe_1207的博客
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一般无穷积分的收敛判别法
universe_1207的博客
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什么是确界定理
最新发布
03-08
<think>嗯，用户问的是确界定理，我需要先回忆一下相关的数学知识。确界定理应该是数学分析里的内容，属于实数完备性的一部分吧。对，实数的基本定理之一，包括单调收敛定理、区间套定理这些，确界定理也是其中之一。 首先，得明确确界的定义。确界分为上确界和下确界。上确界是一个集合的最小上界，下确界是最大下界。比如集合{1,2,3}的上确界是3，下确界是1。如果集合是无界的，比如自然数集，那它就没有上确界，但如果是像(0,1)这样的区间，上确界是1，尽管1不在集合里。所以确界定理应该和实数集的完备性有关，保证某些条件下确界的存在。 接下来，用户可能想知道确界定理的具体内容。定理应该说的是：在实数系中，任何一个非空且有上界的集合，必然存在上确界；同样，非空有下界的集合存在下确界。这一点在有理数集里不一定成立，比如所有平方小于2的有理数组成的集合，上确界应该是√2，但√2不是有理数，所以在有理数里这个集合没有上确界。但实数集是完备的，所以这样的上确界存在。 然后需要解释为什么确界定理重要，它和其他实数完备性定理的关系，比如和柯西收敛准则、单调收敛定理之间的联系。可能还要举例子，比如用确界定理证明单调有界数列收敛。例如递增有上界的数列，其极限就是数列的上确界。 不过要确保解释准确，不能出错。比如，非空和有界这两个条件缺一不可。如果集合是空的，或者没有上界，定理就不适用。另外，要区分上确界和最大值的关系，最大值必须属于集合，而上确界不一定。比如开区间(0,1)的上确界是1，但1不属于这个区间，所以没有最大值。 可能需要举一些例子来帮助用户理解。比如集合S = {x | x² < 2}，在实数中上确界是√2，但在有理数中则不存在。这说明实数系的完备性，而确界定理是这种完备性的体现。 另外，应用方面，确界定理在证明其他定理时非常有用，比如用来证明闭区间上连续函数的极值定理，或者中值定理等。通过构造适当的集合，利用确界存在性来找到极值点或中间值。 最后，要确保用中文表达清楚，结构层次分明，先讲定理内容，再解释相关概念，举例说明，最后可能提到应用和与其他定理的关系。避免使用复杂术语，但保持准确性。</think>确界定理是实数完备性的重要体现之一，其核心内容可概括为： **定理内容** 在实数系中： 1. **上确界存在性**：任何非空且有上界的实数集，必存在唯一的上确界（最小上界）。 2. **下确界存在性**：任何非空且有下界的实数集，必存在唯一的下确界（最大下界）。 --- ### 关键概念解析 1. **确界的定义** - **上确界**（sup）：集合的最小上界。 例：集合 $S = (0,1)$，上确界为 $1$（但 $1 \notin S$）。 - **下确界**（inf）：集合的最大下界。 例：集合 $S = [2,5]$，下确界为 $2$。 2. **非空且有界性** - 若集合为空或无界，定理不成立。 例：自然数集 $\mathbb{N}$ 无上界，故无上确界。 --- ### 直观理解 - **有理数缺陷**：在有理数集中，确界可能不存在。 例：$S = \{ x \in \mathbb{Q} \mid x^2 < 2 \}$ 的上确界应为 $\sqrt{2}$，但 $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$，因此在 $\mathbb{Q}$ 中无上确界。 - **实数完备性**：实数系通过确界定理填补了这种“空隙”，保证了确界的存在性。 --- ### 应用举例 1. **证明单调收敛定理** - 若数列 $\{a_n\}$ 单调递增且有上界，则其极限为 $\sup \{a_n\}$。 2. **闭区间连续函数的极值定理** - 构造集合 $S = \{ f(x) \mid x \in [a,b] \}$，利用确界存在性证明最大值存在。 --- ### 与其他定理的关系 确界定理与以下定理等价，共同构成实数完备性： - 单调收敛定理 - 区间套定理 - 柯西收敛准则 - 聚点定理 --- **总结**：确界定理通过“最小上界”和“最大下界”的存在性，反映了实数系的连续性，是分析学中极限理论的基础工具。
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