算法导论阅读笔记——渐进表示法（2）

算法导论阅读笔记——渐进表示法（2）

1.Θ表示法：
上一篇讲到了大O表示法以及大Ω表示法 而大Θ表示法是大O与大Ω表示同一个函数g（n）的 情况 即f（n）=O（g（n））=Ω（g（n））是f（n）=Θ（g（n））的充分条件
其精确的数学语言表示是 满足O与Ω的数学表示的交集情况：
对于正的常数c1，c2（任取一个）存在n0 有c1g（n）<=f（n）<=c2g（n） 在n>n0时成立

2.更加深刻的理解：
这几个表示法都蕴含着渐进等于的意义 即是当n在趋于正无穷的情况下（因为对于n0的取值可以趋近于正无穷) f（n）越来越趋近于cg（n） 但是也有一些不同 比如 Θ 是f（n）越加趋近且等于c3g（n） (c1<=c3<=c2)

——对于O与Ω的讨论就要分为两种情况了
下边我们以O为例（Ω以此类推就可以了）
（1）当cg（x）是f（x）的上确界时 ：
我们先复习一下高数知识 对于一个函数m（x）的上界是指这个函数在x趋近于正无穷时 函数的值m（x）始终小于这个上界的值 而对于一其上确界 则表示在x趋近于正无穷时m（x）始终小于这个上确界 但是与上确界无限地逼近于这个函数
所以 当输入规模非常大的时候 我们可以用这个确界函数来代替原本的复杂度计算函数 当我们忽略了这个确界的系数时 便得到了 大O表示法的函数 用来显性表示一个算法复杂度上限
（2）当cg（x）是f（x）的上界时：
正如（1）中所述 此时f（x）始终<cg(x) 可以用cg（x）来表示其上界

所以综上所述 O表示了一个<=的上界 ——这个算法是不会大于cg（x）的 将算法的效率的下界（效率和复杂度是反比的）用一个精妙简介的函数g（x）来表达
同理 Ω表示了一个>=的下界 表示出了算法效率的上界

——对于Θ的分析
我们前边说过了 Θ是同时满足O与Ω的情况 但是 此处还有一个限制条件 就是满足的两个g（x）是相同的 但此时的g（x）并不一定是其上下确界 比如 对于f(x)=n³+n=Θ（n³） 但是 f(x)的上下确界不是cg(x)=n³ 如果是确界的话 我们很明显地可以推出 两个确界函数cg（x）与f（x）三者之间是完全重合的（此处的确界概念可能有一定出入 因为在渐进表示法中 是允许渐进表示重合的 所以f（x）与cg（x)可以相等）
**Θ的意义是用一个简洁的函数来表示复杂度f（x) 而不是用来简洁表示上界或者下界 **
此时的Θ表示就有两点好处：
（1）清晰：用Θ表示 会自动忽略低阶项和最高阶前边的系数 符合上一篇所说的表示复杂度的目的（将影响不大的项忽略掉 会减少很多的计算）
（2）简洁：我们可以将一个多项式“收缩”为只含一项的Θ表示式 带入运算 在运算到需要的时候 我们可以将Θ“展开”为多项式后继续分析

说道缩放与展开 不得不提到 Θ计算中的一些公式以及具体证明方法：
（1）多项式变为Θ表示会忽略低阶项以及最高阶系数：

（2）Θ可以根据精度不同展开 ：
低精度展开可以直接展开为 cg（n） 高精度可以展开为多项 ：
如Θ（n³）可以展开为cn³或者c1n³+c2n²+c3n+c4
证明过程类似与（1）的逆向 不必赘述

ok 就这么多
日常更新 顺便推荐一波mit的算法教程