19、带标签树和有向无环图的Burrows - Wheeler索引技术

带标签树和有向无环图的Burrows - Wheeler索引技术

1. 带标签树的Burrows - Wheeler索引

1.1 基础概念与索引构建

在处理带标签树时，我们可以借鉴对字符串后缀进行字典序排序并以紧凑方式表示的思想。对于带标签树 $T = (V, E, \Sigma)$，其中 $V$ 是节点集合，$r \in V$ 是根节点，$E$ 是有向弧集合，每个节点 $v \in V$ 都有一个标签 $\ell(v) \in \Sigma = [1..\sigma]$。为了方便，我们假设根节点的标签 $\ell(r) = #$，且弧的方向是从子节点指向父节点。

我们定义路径为一系列节点 $P = v_1, v_2, \ldots, v_k$，满足 $(v_i, v_{i + 1}) \in E$，$i \in [1..k - 1]$。路径的标签 $\ell(P) = \ell(v_1) \cdot \ell(v_2) \cdot \cdots \cdot \ell(v_k)$，节点 $v$ 的扩展标签 $\overline{\ell}(v)$ 是从 $v$ 到根节点路径的标签。

对于每个节点 $v$，我们根据其在特定顺序 $\prec^*$ 下的位置，以及每条弧 $(u, v) \in E$，构建一个四元组列表 $L$。如果 $v$ 是内部节点，四元组为 $(\ell(u), \overline{\ell}(v), last(u), internal(u))$；如果 $v$ 是叶子节点，四元组为 $(#, \overline{\ell}(v), 1, 1)$。对 $L$ 按第二个分量进行稳定的字典序排序后，我们可以用数组 $labels[1..n +