84、光声和热声断层成像的数学方法解析

光声和热声断层成像的数学方法解析

在光声和热声断层成像（TAT/PAT）领域，数学方法起着至关重要的作用。本文将深入探讨该领域的多种重建方法，包括参数矩阵重建、不同声速条件下的重建以及部分数据重建等内容。

1. 参数矩阵重建与数值实现

参数矩阵近似在数据离散化细化且噪声消除时可能不收敛。参数矩阵重建可以作为近似图像被接受，也可作为迭代算法的起点。这些方法与广义Radon变换的反演通用方案密切相关，该方案将问题简化为第二类Fredholm积分方程，适合数值求解，且作为迭代求解器的预条件器时，收敛速度比代数迭代方法快得多。

在数值实现方面，通过离散化精确公式可开发出准确高效的重建算法：
- 3D情况 ：公式中的导数计算可使用有限差分法，随后进行反投影操作。反投影步骤稳定，而微分操作有轻微不稳定性。该算法的浮点运算次数由较慢的反投影步骤决定，若探测器数量为$m^2$，重建网格大小为$m × m × m$，则整个算法需要$O(m^5)$次浮点运算。例如，对于$129×129×129$的网格，在单处理器计算机上需要数小时的计算时间。
- 2D情况 ：公式中的过滤步骤可简化为计算两个Hilbert变换，在频域中可轻松完成。操作次数为$O(m^3)$，但使用积分线探测器时，需解决$m$次2D问题，总操作次数提升至$O(m^4)$次浮点运算。

下面通过一个表格总结3D和2D情况的特点：
| 维度 | 导数计算方法 | 过滤步骤 | 浮点运算次数 | 实际计算时间示例 |
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