61、电阻抗断层成像技术：原理、测量与唯一性研究

电阻抗断层成像技术：原理、测量与唯一性研究

1. 电极测量原理

在电阻抗断层成像（EIT）中，典型的电气成像系统会使用一组导电电极附着在被检测物体表面。通过向这些电极施加电流或电压，并分别测量相应的电压或电流。对于一次特定测量，电压 (V_{\ell}) 和电流 (I_{\ell}) 可以排列成向量 (V) 和 (I \in \mathbb{C}^L)。

1.1 转移导纳与转移阻抗

离散形式的狄利克雷 - 诺伊曼映射 (\Lambda_{\gamma}) 对应的是转移导纳矩阵 (Y)，定义为 (I = YV)。向量 (\mathbf{1} = (1, 1, \cdots, 1)^T) 在 (Y) 的零空间中，且 (Y) 的值域与该向量正交。设 (S) 是 (\mathbb{C}^L) 中与 (\mathbf{1}) 垂直的子空间，则 (Y|_S) 是从 (S) 到 (S) 的可逆映射，其广义逆 (Z = Y^{\dagger}) 被称为转移阻抗。

转移导纳或转移阻抗代表了在单一频率下，从 (L) 个电极收集到的一组完整数据。在电工程中，(Y) 和 (Z) 是对称的（但对于 (\omega \neq 0) 不是厄米特矩阵），这一特性被称为互易性。可能的转移导纳矩阵空间的维度不大于 (L(L - 1)/2)，因此期望恢复比这更多的未知参数是不现实的。

1.2 激励模式与测量策略

典型的电气成像系统会施加形成子空间 (S) 基的电流或电压模式，并测量产生的电压的某个子集。这些电压仅在一个加法常数的意义上定义，因此可以认为它们在 (S) 中。

在医学 EIT 中，早期的谢菲尔德系统假设是二维圆形域，电