13、反馈顶点集问题的分支算法求解

反馈顶点集问题的分支算法求解

1. 反馈顶点集问题概述

反馈顶点集问题（Feedback Vertex Set Problem，FVS）是图论中的一个重要问题。给定一个无向图 $G = (V, E)$，该问题的任务是构建一个最小规模的反馈顶点集 $W \subseteq V$。若图 $G \setminus W$ 不包含任何环，即 $G \setminus W$ 是一个森林，则称顶点集 $W$ 为图 $G$ 的反馈顶点集。为了解决 FVS 问题，我们可以将其转化为寻找一个最大规模的子集 $F \subseteq V$，使得 $G[F]$ 是一个森林，这个问题被称为最大诱导森林问题。显然，$W$ 是 $G$ 的（最小）反馈顶点集当且仅当 $V \setminus W$ 是 $G$ 的（最大）诱导森林。

2. 简单分支算法及问题

2.1 分支算法思路

考虑一个递归构建图 $G$ 中诱导森林的分支过程。假设在算法的某一步，我们已经构建了一个森林 $F$。现在我们想知道如何将这个森林扩展为一个更大的森林。我们选取一个顶点 $v \in V \setminus F$，它与森林 $F$ 中的某个顶点 $t$ 相邻，然后进行分支，分为两个子问题：$v$ 是否在新森林中。
- 情况一：$v$ 在新森林中 ：$v$ 在森林外的每个邻居 $u$，如果它也与包含 $t$ 的 $F$ 的连通分量中的某个顶点相邻，那么 $u$ 不能在森林中，因为将 $v$ 和 $u$ 添加到 $F$ 中会形成一个环。因此，我们可以移除 $v$ 的所有与包含 $t$ 的 $F$ 的分量中的顶点相邻的邻居，并将 $v$ 添加到森林中。
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