反馈顶点集问题（1）

反馈顶点集问题简介

• 现有问题如下：给定一个无向图G，很不幸的是，G中可能存在圈，这让你很不满意。现在需要找到一个顶点集合F，使得把这些顶点移除后，图G中就没有圈了。
• 另一件不幸的事，本文我们还不会给出这个问题的求解算法，因为关于这个问题要引入的概念较多，我们先讲清楚问题，把问题剖析一下，发掘一些性质。
• 反馈顶点集问题有很多实际用途，比如操作系统中发生死锁，我们就要打破圈，怎么才能以最小代价来打破圈？
• 说明：本文中环与圈含义相同，可能有时候会混用。

圈的表示

这里用到了伽罗瓦域$GF[2{]}^m$，但是只是很简单的使用，不涉及复杂的近世代数理论。假设我们的图G中一共有m条边，然后给定一些边，我们就可以把它映射到一个m维向量上，边存在就让那个维度为1，不存在就为0，可能表述不当，下面是个例子：

那么按照这个方法，也能把一个圈映射到一个向量上：

简单圈

简单环：简单环又称简单回路，图的顶点序列中，除了第一个顶点和最后一个顶点相同外，其余顶点不重复出现的回路叫简单回路。或者说，若通路或回路不重复地包含相同的边，则它是简单的

圈的运算

既然映射到伽罗瓦域上，必有其道理，在伽罗瓦域上做两个圈的加法，结果就像两个泡泡合并成一个大泡泡，咱们还是看个例子：

对应到伽罗瓦域上的运算就是(加减法都是按位异或)：
(1,1,0,0,1)+(0,0,1,1,1)=(1,1,1,1,0)

圈空间

可能你已经注意到了，圈并不能填满整个伽罗瓦域，所有的圈只能构成一个子空间。在给定的加法（异或）运算下，圈构成了一个线性空间，我们把图G中圈空间的维度记为cyc(G)，原书作者说它也等于简单圈空间中的特征向量的个数，也就是说简单圈就能生成整个圈空间，这也很显然，复杂圈给自己打结的地方都断开就成一些简单圈了。

到目前为止，大家抽象地想象一下有一个圈构成的线性空间就可以了，没有必要真正地去分析这样一个空间，重要的是下面这个定理。

我们定义κ(G)为图G=(V,E)中连通分量的数目，下面给出一个重要定理：
$$cyc(G)=|E|-|V|+\kappa (G)$$

证明：

不失一般性，我们可以设G是一个连通图，从而证明cyc(G)=|E|−|V|+1，如果得证，对每个联通分支求和就能得到上式。下面我们通过两个不等式来证明定理。

1. 证明 $cyc(G)\ge |E|-|V|+1$

G是一个连通图，任取T是G上的一个生成树，我们定义T-基础圈为一条非树边和树边构成的简单圈（在生成树的基础上任意再引入一条非树边都会得到一个简单圈）所以我们一共能得到|E|-|V|+1个T-基础圈（树边有|V|-1个），并且这些圈是线性无关的（很显然，因为他们都独占一个非树边），既然都是圈，那么它们一定是G上整个圈空间的子集，他们也一定生成了一个子空间，因此cyc(G) ≥ |E|−|V|+1

2. 证明$cyc(G)\le |E|-|V|+1$

首先说明一个事实：对于生成树T，每条树边t都能对应一个仅仅包含这一条树边和其它一些非树边的割（也可以对应多个，只要树边唯一确定即可）。这个可以想想到，一个割只需要和一条树边相交就能把树切断，且树把图划分成的区域都是与外界相连的。既然每个割都是有一个独占的树边，那他们之间就是线性无关的，所以用割边就能生成一个|V|-1维割空间，我们还是看个图感受一下。

其次，我们想说明，割和圈会相交偶数次（指在边上相交偶数次），试想拿到切一个图，图中有一个圈，要么不切到圈，要么切到圈也会进去一刀出去一刀，放一张丑图，大家凑合看看：

然后原书作者告诉你：显然圈和这些割是正交的！没错，因为相交处有偶数处，异或就没了，而不相交处相乘等于零。于是得到结论：割空间和圈空间不相交，也就是割空间是圈空间的正交补空间的子集，或者圈空间是割空间的正交补空间的子集：

换成公式表达，就是：$cyc(G)\le |E|-|V|+1$

整合：

因此我们得到了对于一般无向连通图G：$cyc(G)=|E|-|V|+1$，实属不易大家要牢记结论。

顶点对圈维度的贡献

去掉一个顶点，圈空间的维度必然会有所降低，这个减少量记为${\delta }_G(v)$，如下图，这里不严格论证，但是大家不难想象其圈空间，就只有三个圈而已：

其中${\delta }_G(v1)=2$， δ G ( v 2 ) = 1