12、数值积分与向量空间相关知识

数值积分与向量空间相关知识

1. 数值积分

数值积分的目标是讨论近似计算积分 $\int_{a}^{b} f(x)dx$ 的基本方法。其核心思想是将积分看作曲线与 $x$ 轴之间的面积（若曲线在 $x$ 轴下方，面积为负），通过用易于计算的区域面积来近似实际面积（积分）。

1.1 区间细分

将区间 $[a,b]$ 细分为 $n$ 个等宽的子区间，每个子区间的宽度为 $\Delta x = \frac{b - a}{n}$。细分后，$a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_{n - 1} < x_n = b$，其中 $x_k = a + k\Delta x$，$k = 0,1,\cdots,n$。

1.2 黎曼和

黎曼和通过矩形或梯形的面积来近似积分 $\int_{a}^{b} f(x)dx$，每个矩形或梯形的宽度为 $\Delta x$。
- 矩形法 ：对于第 $k$ 个子区间 $[x_{k - 1},x_k]$，选择一个样本点 $x_k^ \in [x_{k - 1},x_k]$，第 $k$ 个矩形的高度为 $f(x_k^ )$。则用矩形近似积分的一般形式为 $\int_{a}^{b} f(x)dx \approx \sum_{k = 1}^{n} f(x_k^ ) \Delta x$。常见的三种矩形法是使用子区间的左端点、右端点或中点来选择 $x_k^ $。
- 梯形法 ：第 $k$ 个梯形的顶点为 $(x_{k - 1},0)$，$(