12、基于切比雪夫多项式的自适应共识算法研究

基于切比雪夫多项式的自适应共识算法研究

在分布式系统中，如何高效地达成共识是一个关键问题。本文将深入探讨一种基于切比雪夫多项式的自适应共识算法，包括算法的理论分析、参数自适应调整以及模拟实验结果。

切换拓扑下算法的分析

在切换拓扑的情况下，算法的理论分析变得更加复杂，因为每次迭代都会受到特征向量的影响。同时，对每个图的连通性假设比其他方法更为严格。如果有一个图是不连通的，那么最大特征值 $\lambda_{max} = 1$，充分条件将无法满足。不过，虽然在某些图不连通时还无法证明算法的收敛性，但通过模拟实验发现，在实际应用中算法是收敛的。

自适应参数与代数连通性估计

为了实现自适应共识算法，我们采用切比雪夫多项式来估计代数连通性，具体基于二分法。以下是详细步骤：
1. 参数假设 ：假设参数选择对称，即 $-\lambda_m = \lambda_M = \lambda$，则 $c = 1/\lambda$ 且 $d = 0$。每个机器人随机初始化 $x_i(0) \in {0, 1}$，并且要求初始条件 $x(0)$ 表示为 $W$ 的特征向量之和时，$v_2 \neq 0$。
2. 特征值位置指标 ：定义 $\kappa_n(c) = \frac{T_n(c)|x(n) - v_1| {\infty}}{|x(0) - v_1| {\infty}}$ 作为特征值相对于参数 $c$ 位置的指标。其中，$v_1$ 是与 $\lambda_1$ 相关的特征向量，即初始值的平均值，$|x(0) - v_1| {\infty}$ 和 $