13、切比雪夫多项式在快速共识算法中的应用与分析

切比雪夫多项式在快速共识算法中的应用与分析

1. 算法参数选择与性能分析

在使用切比雪夫多项式的算法中，参数 $\lambda_m$ 和 $\lambda_M$ 的选择对算法性能有重要影响。当使用次优参数时，由于 $\lambda_m$ 提供了额外的自由度，该算法的表现优于 ShortMem 和 SOFixed 方法。对于具有许多节点的未知网络，选择模量较大的两个参数，即 $0.9 \leq \lambda_M \simeq 1$ 和 $-0.9 \geq \lambda_m \simeq -1$，比选择更接近零的参数能以更少的迭代次数达成共识。并且，$\lambda_M$ 在迭代次数方面比 $\lambda_m$ 发挥着更重要的作用，这是由于使用了 Metropolis 权重。在这种情况下，可以将参数 $\lambda_m$ 稍微选择得更接近零，例如 $\lambda_m = -0.5$，以进一步减少迭代次数。

2. 时变通信拓扑下的评估

2.1 示例分析

考虑一个由 20 个节点组成的连通通信网络，为满足定理 5.5.4 的条件，在每次迭代时随机向网络添加一些链接，确保所有拓扑保持连通。使用局部度权重得到对称矩阵，其参数 $\lambda_{max} = 0.9477$ 和 $\lambda_{min} = -0.1922$。
通过图 5.4 展示了使用不同算法和不同参数的切比雪夫多项式时状态的演变：
- 第一行展示了使用最小多项式和半定规划多项式的有限时间共识算法以及标准方法的共识值。当拓扑改变时，最小多项式和半定规划多项式无法达成共识，而标准方法能达到期望的值。
- 第二行展示了使用 ShortMem、SOFixe