61、运算放大器的深入解析

运算放大器的深入解析

1. 运算放大器电路分析

在分析某些运算放大器电路时，可通过克莱姆法则来求解输出电压 (V_o)。首先，将方程改写为源项在左侧的形式：
- (V_ig_1 = V_1 [g_1 + s (C_1 + C_2)] - V_osC_2)（式 15.87）
- (0 = V_1sC_1 + V_og_2)（式 15.88）

求解复数振幅 (V_o) 可得：
(V_o = \frac{-g_1sC_1V_i}{[g_1 + s (C_1 + C_2)] g_2 + s^2C_1C_2})（式 15.89）
( = \frac{-g_1sC_1V_i}{g_1g_2 + s (C_1 + C_2) g_2 + s^2C_1C_2})（式 15.90）
( = \frac{-s(\frac{g_1}{C_2})V_i}{s^2 + s\frac{C_1 + C_2}{C_1C_2} g_2 + \frac{g_1g_2}{C_1C_2}})（式 15.91）

式 15.91 与特定形式的方程（除了负号）完全一致，因此该电路等效于一个并联 RLC 滤波器。通过比较相应项，可得到：
- 谐振频率：(\omega_o = \sqrt{\frac{g_1g_2}{C_1C_2}})（式 15.92）
- 带宽：(BW = g_2\frac{C_1 + C_2}{C_1C_2})（式 15.93）

有了这些缩放因子，特定的频率响应图（除了相位额外增加 180°）可直接应用于该电路，同时也适用于相关章节中讨论的其他特性。

2. 运算放大器的饱和状态

在之前的讨论中，我们主要使用运算放大器的有源区域。在有源区域，运算放大器的电压控制电压源模型适用。当施加负反馈且运算放大器工作在有源区域时，可使用输入电压约束 (v^- \approx v^+)。

然而，当运算放大器输出达到饱和时，电压控制电压源模型和输入电压约束不再适用。在饱和状态下，运算放大器的输出将接近电源电压之一，如 +12V 或 -12V。正饱和时，输出接近 +12V；负饱和时，输出接近 -12V。

当外部输入使得运算放大器输出需要高于 +12V 或低于 -12V 时，运算放大器会退出有源区域并进入饱和区域。例如，若运算放大器的电源电压为 +12V 和 -12V，将 2V 输入到增益为 10 的同相运算放大器电路中，运算放大器将进入正饱和状态；若输入 -2V，则进入负饱和状态。

当运算放大器进入正饱和时，输出与正电源之间形成近似短路；进入负饱和时，输出与负电源之间形成近似短路。相应的正、负饱和模型如图所示。在饱和模型中，正常的受控电压源不再显示，因为其输出受电源电压限制，变成了简单的电压源。

2.1 运算放大器积分器的饱和情况

若运算放大器积分器进入负饱和状态，相应的子电路如图所示。在负饱和模型中，(v_O) 固定在接近负电源电压的值，如 -12V。由于假设运算放大器饱和时输出有 12V 电池，受控源不再参与计算，电路简化为简单的串联 RC 配置。

假设输入为阶跃信号 (v_i)，可通过特定方法求解 (v_C) 和 (v^-)。在进入饱和前瞬间，(v_C) 的电压为：
(v_{init} = +12V)（式 15.104）
这是因为此时由于运算放大器的约束，(v^-) 几乎为零。若瞬态过程完成，最终电容电压为：
(v_{final} = V + 12V)（式 15.105）

假设进入饱和瞬间为时间原点，根据相关公式可得：
(v_C = 12e^{-\frac{t}{RC}} + (V + 12)(1 - e^{-\frac{t}{RC}}))（式 15.106）
( = V(1 - e^{-\frac{t}{RC}}) + 12)（式 15.107）

进而可得：
(v^- = V(1 - e^{-\frac{t}{RC}}))（式 15.108）

电路性能的一个重要问题是电路从饱和效应中恢复所需的时间。假设输入阶跃信号极性反转，由于 (v^-) 端的大正电压，运算放大器仍将保持在饱和状态，直到 (v^-) 几乎衰减到零。在此期间，电路仍由相应的电路表示。此时，若 (v_i = -V)，则有：
(v^- = -V + 2Ve^{-\frac{t}{RC}})（式 15.109）
(v_O = -12)（式 15.110）

其中时间原点定义为 (v_i) 负跳变的瞬间。只有当 (v^-) 几乎衰减到零时，运算放大器才会退出饱和状态，并向零值积分。

综上所述，使运算放大器进入饱和状态对积分器性能有两个严重后果：一是运算放大器饱和时积分被截断；二是当输入波变为负时，电路恢复并再次作为积分器工作会有显著延迟。

3. 运算放大器的正反馈

在之前讨论的所有运算放大器电路中，反馈网络都连接到运算放大器的负输入端子，这种连接提供负反馈，使电路更线性、更温度独立、更可靠。

若将反馈连接到正输入端子，情况会有所不同。此时，输出电压 (v_O) 与输入电压 (v_i) 的完整关系显示出饱和和滞回特性。假设 (v_O) 初始为正，(v_i) 为负，由于反馈，(v^+) 仍为 +6V。要使运算放大器退出饱和，(v_i) 必须足够正，使 ((v^+ - v^-)) 近似为零，即 (v_i) 约为 +6V。若 (v_i) 略大于 +6V，(v_O) 将被驱动为负，进而使 (v^+) 为负，导致 (v_O) 更负，最终 (v_O) 发生再生负跳变到 -12V。此时，要使 (v_O) 再生跳变到 +12V，(v_i) 必须小于 -6V。滞回区域的宽度可通过反馈电阻的比值控制。

显然，该电路不再是线性放大器，正反馈增强了运算放大器的基本非线性。这种电路的一个应用是作为数字比较器，将连续模拟信号转换为二态信号。

3.1 RC 振荡器

另一个使用正反馈的运算放大器电路是 RC 振荡器。假设电源电压为 (V_S) 和 (-V_S)，该电路作为振荡器工作，利用正反馈使运算放大器在 (V_S) 的正负值处饱和。

下面定性分析该振荡器的工作原理：
1. 假设系统从静止开始，电容电压 (v_C = 0)，因此运算放大器的反相输入端 (v^-) 为 0V。同时假设输出初始处于正饱和状态，即 (V_S)。由于输出反馈到正输入端，可得：
(v^+ = \frac{V_SR_1}{R_1 + R_2})
这个正电压在同相输入端产生正电压差，导致输出继续被驱动到正饱和电压 (V_S)。此时，电容 (C) 通过电阻 (R_3) 开始向 (V_S) 充电，充电动态过程类似于简单的 RC 电路。
2. 随着电容充电，其电压 (v_C) 最终会超过 (v^+ = \frac{V_SR_1}{R_1 + R_2})，在运算放大器输入端口产生有效负电压。运算放大器将输入的负电压差放大为输出的大负电压。由于输出的负电压通过由 (R_1) 和 (R_2) 组成的分压器反馈到同相端，同相端电压变为负，使运算放大器输入的电压差更负，进而使输出电压进一步下降，直到输出达到负饱和电压 (-V_S)。此时，(v^+ = -\frac{V_SR_1}{R_1 + R_2})。
3. 当输出达到 (-V_S) 且 (v^+) 转变为 (-\frac{V_SR_1}{R_1 + R_2}) 时，可假设电容电压仍近似为 (\frac{V_SR_1}{R_1 + R_2})，因为电容电压变化相对较慢。此时，由于电容电压高于输出电压，电容开始通过 (R_3) 放电。
4. 当电容电压下降到低于 (-\frac{V_SR_1}{R_1 + R_2}) 时，(v^-) 低于 (v^+)，在运算放大器输入产生正电压差。运算放大器将此正电压差放大为输出的正电压，反馈到同相端后使运算放大器输入的正电压更大，导致输出进入正饱和状态，输出电压达到 (V_S)，(v^+) 再次为 (\frac{V_SR_1}{R_1 + R_2})。电容又开始充电，这个循环不断重复，在运算放大器输出产生方波。

下面推导该振荡器的周期：
假设在时间 (T_1)，(v_O) 从 (V_S) 跳变到 (-V_S)。在 (T_1^-) 时刻，(v_O = V_S)，根据分压关系，(v^+ = \frac{R_1V_S}{R_1 + R_2})，且 (v^-) 低于 (v^+)，电容电压在增加。在 (T_1^+) 时刻，(v^-) 略大于 (v^+)，即 (v^- \approx \frac{V_SR_1}{R_1 + R_2})，输出 (v_O) 几乎瞬间跳变到 (-V_S)，(v^+) 变为 (-\frac{R_1V_S}{R_1 + R_2})，电容开始放电，(v^-) 开始下降。当 (v^-) 低于 (v^+ = -\frac{R_1V_S}{R_1 + R_2}) 时，(v_O) 将从低电平跳变到高电平。

因此，低电平时间 (T_{low}) 是电容从初始值 (\frac{V_SR_1}{R_1 + R_2}) 放电到最终值 (-\frac{V_SR_1}{R_1 + R_2}) 所需的时间。电容放电动态过程由一阶微分方程控制，其解为：
(v_C = -V_S + (\frac{R_1}{R_1 + R_2} + 1)V_Se^{-\frac{t}{R_3C}})（式 15.111）

要找到 (T_{low})，需求解满足 (v_C = -V_S + (\frac{R_1}{R_1 + R_2} + 1)V_Se^{-\frac{t}{R_3C}} < -\frac{R_1}{R_1 + R_2}V_S) 的时间。即：
(-V_S + (\frac{R_1}{R_1 + R_2} + 1)V_Se^{-\frac{T_{low}}{R_3C}} = -\frac{R_1}{R_1 + R_2}V_S)
解得：
(T_{low} = R_3C \ln(1 + \frac{2R_1}{R_2}))（式 15.113）

容易验证，高电平时间 (T_{high}) 与低电平时间相等。因此，振荡器的周期为：
(T = 2R_3C \ln(1 + \frac{2R_1}{R_2}))

4. 运算放大器的总结

• 基本性质 ：运算放大器是广泛使用的放大器抽象概念，是许多电子电路设计的基础。它由晶体管和电阻等基本元件构成，是一个四端口设备，包括输入端口（通常标记为 (v^+) 和 (v^-)）、输出端口（标记为 (v_o)）、正电源端口（施加 (+V_S) 电压）和负电源端口（施加 (-V_S) 电压）。虽然接地端子在运算放大器符号中未明确显示，但它是所有运算放大器电路的重要组成部分。
• 输入输出关系 ：运算放大器表现为电压依赖电压源，其输入输出关系可数学表示为 (v_o = A(v^+ - v^-))，其中 (A) 是一个大数，称为放大器的开环增益。在大多数实际应用中，(A) 被视为无穷大。
• 反馈类型及应用 ：
  • 负反馈 ：大多数有用的运算放大器电路采用负反馈连接，即将输出信号的一部分反馈到运算放大器的 (v^-) 输入。此类电路包括反相和同相放大器、缓冲器、加法器、积分器和微分器等。在分析负反馈且运算放大器不饱和的电路时，常用约束条件 (v^+ \approx v^-)。
  • 正反馈 ：有时运算放大器电路采用正反馈连接，即将输出信号的一部分反馈到 (v^+) 输入。例如振荡器和比较器等电路。

5. 练习题相关

文中还给出了一系列练习题，涵盖了运算放大器电路的各种分析和计算，如求戴维南等效电路、计算输出电压、分析增益灵敏度等。以下是部分练习题的简要介绍：
- 练习题 15.1 ：求包含两个电阻和一个受控电流源的电路的戴维南等效电路。
- 练习题 15.2 ：根据给定电路，计算 (v_O) 与 (I_1)、(V_1) 和 (V_2) 的关系，假设运算放大器具有理想特性。
- 练习题 15.3 ：计算反相运算放大器连接中增益的灵敏度 (dG/G) 与运算放大器增益分数变化 (dA/A) 的函数关系。
- 练习题 15.4 ：分析差分放大器电路，包括推导输出电压表达式、讨论负载电阻对输出电压的影响、确定特定条件下的电阻值和输出电压等。
- 练习题 15.5 ：对于包含硅二极管的电路，求 (v_O) 与 (v_1) 和 (R_1) 的关系，并绘制相应草图。

这些练习题有助于深入理解运算放大器电路的原理和分析方法，通过实际计算和推导，可进一步掌握运算放大器在不同电路中的应用。

通过以上对运算放大器的分析，我们可以看到它在电子电路设计中的重要性和多样性。无论是在有源区域的正常工作，还是在饱和状态和正反馈情况下的特殊表现，都为电路设计提供了丰富的可能性。同时，练习题也为我们巩固知识和提高分析能力提供了很好的途径。在实际应用中，我们需要根据具体需求选择合适的反馈方式和电路配置，以实现所需的电路功能。

下面用 mermaid 绘制一个简单的 RC 振荡器工作流程的流程图：

graph TD;
    A[系统静止，vC = 0] --> B[输出正饱和，vO = VS];
    B --> C[电容充电，vC 上升];
    C --> D{vC > v+};
    D -- 是 --> E[vO 负跳变到 -VS];
    E --> F[电容放电，vC 下降];
    F --> G{vC < v+};
    G -- 是 --> H[vO 正跳变到 VS];
    H --> C;
    D -- 否 --> C;
    G -- 否 --> F;

表格展示运算放大器不同状态的特点：
| 状态 | 模型适用性 | 输出电压 | 输入电压约束 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 有源区域 | 电压控制电压源模型适用 | 正常放大输出 | (v^- \approx v^+) |
| 饱和区域 | 不适用电压控制电压源模型 | 接近电源电压（+12V 或 -12V） | 不适用 (v^- \approx v^+) |

6. 练习题详细解析思路

6.1 练习题 15.1

对于求包含两个电阻和一个受控电流源的电路的戴维南等效电路，关键步骤如下：
- 求开路电压 (V_{oc}) ：将负载断开，分析电路中各元件的电压和电流关系，利用基尔霍夫定律和元件特性来计算开路电压。
- 求等效电阻 (R_{eq}) ：独立源置零（电压源短路，电流源开路），然后通过串并联电阻计算或采用外加电源法来确定等效电阻。

6.2 练习题 15.2

计算 (v_O) 与 (I_1)、(V_1) 和 (V_2) 的关系，假设运算放大器具有理想特性。
- 利用理想运算放大器的虚短（(v^- \approx v^+)）和虚断（流入运算放大器输入端口的电流为零）特性。
- 根据电路中的电阻分压、电流关系，结合基尔霍夫定律列出方程，逐步推导得出 (v_O) 的表达式。

6.3 练习题 15.3

计算反相运算放大器连接中增益的灵敏度 (dG/G) 与运算放大器增益分数变化 (dA/A) 的函数关系。
- 首先写出反相运算放大器的增益表达式 (G)，它通常与外部电阻和运算放大器的开环增益 (A) 有关。
- 对增益表达式求微分，得到 (dG) 与 (dA) 的关系。
- 然后计算 (dG/G) 与 (dA/A) 的比值，从而得到灵敏度函数。

6.4 练习题 15.4

分析差分放大器电路：
- 推导输出电压表达式 ：同样利用理想运算放大器的虚短和虚断特性，对电路进行节点电压分析或回路电流分析，建立方程求解输出电压 (v_O) 与 (v_1)、(v_2)、(R_1)、(R_2)、(R_3) 和 (R_4) 的关系。
- 讨论负载电阻对输出电压的影响 ：在推导输出电压表达式时，考虑负载电阻 (R_L) 的接入，分析其对电路中电流和电压分布的影响。如果负载电阻不影响运算放大器的虚短和虚断特性，那么输出电压表达式可能不变；反之，则需要重新分析。
- 确定特定条件下的电阻值和输出电压 ：根据给定的条件，如 (v_1 = v_2) 且 (v_O = 0)，代入输出电压表达式中，求解相应的电阻值；再根据其他给定条件，计算输出电压。

6.5 练习题 15.5

对于包含硅二极管的电路，求 (v_O) 与 (v_1) 和 (R_1) 的关系，并绘制相应草图。
- 分析二极管的伏安特性 (i = I_S (e^{\frac{qv}{nkT}} - 1))，结合电路中的电流和电压关系，利用基尔霍夫定律建立方程。
- 通过解方程得到 (v_O) 与 (v_1) 和 (R_1) 的关系。
- 根据得到的表达式，分析 (v_O) 随 (v_1) 的变化趋势，绘制草图，标注关键的电压值和变化区间。

7. 运算放大器在实际应用中的注意事项

• 电源电压选择 ：要根据具体电路的需求和运算放大器的规格选择合适的电源电压。如果电源电压选择不当，可能导致运算放大器无法正常工作或进入饱和状态，影响电路性能。
• 反馈网络设计 ：反馈网络的设计直接影响运算放大器的性能。负反馈可以改善电路的线性度、稳定性和温度特性，但反馈系数的选择需要根据具体应用进行优化。正反馈虽然可以实现一些特殊功能，如振荡和比较，但也容易导致电路不稳定，需要谨慎设计。
• 输入信号范围 ：输入信号的幅度和频率范围必须在运算放大器的工作范围内。如果输入信号过大，可能导致运算放大器饱和；如果输入信号频率过高，可能会受到运算放大器带宽的限制，影响输出信号的质量。
• 负载特性 ：负载的阻抗特性会影响运算放大器的输出性能。如果负载阻抗过小，可能会导致输出电压下降，甚至影响运算放大器的稳定性。因此，在设计电路时，需要考虑负载的影响，并采取相应的措施，如增加缓冲级等。

8. 运算放大器未来发展趋势

• 高集成度 ：随着半导体技术的不断发展，运算放大器将越来越多地集成到芯片中，实现更高的功能密度和更小的尺寸。这将有助于降低成本、提高可靠性，并推动电子设备向小型化和便携式方向发展。
• 低功耗 ：在电池供电的设备中，低功耗是一个重要的需求。未来的运算放大器将采用更先进的工艺和设计技术，降低功耗，延长设备的续航时间。
• 高速和宽带 ：随着通信和数据处理技术的快速发展，对高速和宽带运算放大器的需求也越来越大。未来的运算放大器将具备更高的带宽和更快的响应速度，以满足高速信号处理的要求。
• 智能化 ：结合人工智能和机器学习技术，运算放大器可能会具备一定的智能特性，如自适应调整增益、自动补偿误差等，提高电路的性能和可靠性。

9. 总结与展望

运算放大器作为电子电路设计中的核心元件，具有广泛的应用和重要的地位。通过对其工作原理、反馈类型、饱和状态和正反馈应用的深入分析，我们可以更好地理解和设计运算放大器电路。练习题的设置为我们提供了实践和巩固知识的机会，帮助我们提高分析和解决问题的能力。

在实际应用中，我们需要充分考虑运算放大器的各种特性和注意事项，选择合适的电路配置和参数，以实现所需的电路功能。同时，关注运算放大器的未来发展趋势，将有助于我们在电子技术领域保持领先地位，开发出更先进、更高效的电子设备。

表格展示运算放大器不同反馈类型的特点对比：
| 反馈类型 | 电路特性 | 应用场景 | 优点 | 缺点 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 负反馈 | 使电路更线性、温度更独立、更可靠 | 反相和同相放大器、缓冲器等 | 改善电路性能 | 可能降低增益 |
| 正反馈 | 增强非线性，产生饱和和滞回特性 | 振荡器、比较器等 | 实现特殊功能 | 电路稳定性较差 |

下面用 mermaid 绘制一个运算放大器应用选择的流程图：

graph TD;
    A[确定电路需求] --> B{是否需要线性放大};
    B -- 是 --> C{是否需要稳定增益};
    C -- 是 --> D[选择负反馈电路];
    C -- 否 --> E{是否需要特殊功能};
    E -- 是 --> F[考虑正反馈电路];
    E -- 否 --> D;
    B -- 否 --> F;

通过以上的分析和总结，我们对运算放大器有了更全面的认识，希望这些内容能为读者在电子电路设计和应用中提供有益的参考。