54、时域与频域分析及阻抗中的功率和能量

时域与频域分析及阻抗中的功率和能量

1. 时域与频域分析对比

1.1 简单电压分压器的问题

简单电压分压器在高频下表现不佳，因为大多数电路中存在寄生并联电容。以图 13.45a 中的电容 C2 为例，当驱动为低频正弦波时，电压分压器的衰减为 (R_2/(R_1 + R_2))，但在高频时，电容会使衰减超过预期值。

1.2 频域分析

1.2.1 构建阻抗模型

频域分析从构建电路的阻抗模型开始，如图 13.45b 所示。广义电压分压器关系为：
[V_o = \frac{R_2 \parallel (1/C_2s)}{R_1 + R_2 \parallel (1/C_2s)}V_i]
化简后得到：
[V_o = \frac{R_2}{R_1 + R_2 + R_1R_2C_2s}V_i]
在高频时（(\omega) 很大，(s = j\omega)），表达式简化为：
[V_o \simeq \frac{1}{j\omega R_1C_2}V_i]
此时 (v_o(t)) 成为一个越来越小的正弦波，滞后输入正弦波 90°，电压分压器的衰减随频率增加而增大。

1.2.2 补偿电压分压器

为解决电容问题，需在串联电阻上并联一个小电容，如图 13.46 所示。分析阻抗模型可得：
[V_o = \frac{R_2 \parallel (1/C_2s)}{R_1 \parallel (1/C_1s) + R_2 \parallel (1/C_2s)}V_i]
展开后为：
[V_o = \frac{R_2(R_1C_1s + 1)}{R_1(R_2C_2s + 1) + R_2(R_1C_1s + 1)}V_i]
若选择 (C_1) 使得 (R_1C_1 = R_2C_2)，则上式简化为：
[V_o = \frac{R_2}{R_1 + R_2}V_i]
实际输出时间函数为：
[v_o(t) = \frac{R_2}{R_1 + R_2}v_i(t)]

1.2.3 频率响应分析

将式 (V_o = \frac{R_2(R_1C_1s + 1)}{R_1(R_2C_2s + 1) + R_2(R_1C_1s + 1)}V_i) 整理成标准形式的系统函数：
[H(s) = \frac{V_o}{V_i} = \left(\frac{C_1}{C_1 + C_2}\right) \left(\frac{s + \frac{1}{R_1C_1}}{s + \frac{(R_1 + R_2)}{R_1R_2(C_1 + C_2)}}\right)]
假设 (\frac{C_1}{C_1 + C_2} = 0.025)，(R_1C_1 = 1 ms)，(\frac{R_1 + R_2}{R_1R_2(C_1 + C_2)} = 100)，则：
[H(j\omega) = \frac{V_o}{V_i} = \frac{0.025(1000 + j\omega)}{100 + j\omega}]
不同补偿情况（欠补偿、正确补偿、过补偿）的频率响应如图 13.47 所示，当衰减恒定且与频率无关时，电路得到正确补偿。

1.3 时域分析

1.3.1 系统阶数

尽管有两个电容，但系统仍是一阶的，因为只能指定一个独立初始条件。假设电容 (C_2) 初始未充电，即 (v_o(t = 0) = 0)，若 (t < 0) 时 (v_i = 0)，则 (C_1) 上的初始电压也为零。

1.3.2 求解响应

齐次解形式为 (v_o = Ke^{st})，特征多项式是系统函数的分母，令其为零可得：
[s = -\frac{1}{(R_1 \parallel R_2)(C_1 + C_2)}]
特解为：
[v_o = \frac{R_2}{R_1 + R_2}V_S]
完整解形式为：
[v_o = Ke^{-t/(R_1 \parallel R_2)(C_1 + C_2)} + \frac{R_2}{R_1 + R_2}V_S\quad (t > 0)]
由于两个电容形成一个面对电压源的回路，不能用常规方法求常数 (K)。通过分析电容电荷关系可得 (t = 0^+) 时的初始条件：
[v_o = \frac{C_1}{C_1 + C_2}V_S]
进而求得 (K)：
[K = \left(\frac{C_1}{C_1 + C_2} - \frac{R_2}{R_1 + R_2}\right)V_S]
当 (K = 0) 时，即 (R_1C_1 = R_2C_2)，无瞬态响应。

1.4 时域和频域分析比较

假设驱动波形为方波，可以将时域解和频域解联系起来。过补偿情况下（(C_1) 较大），时域解如图 13.50 所示，输出信号在过渡点处的值相对较高。在频域中，方波驱动可看作多个正弦波的叠加，通过观察频率响应图可以直观地看到每个分量通过衰减器时的变化。

重要结论如下：
- 两种分析方法为同一电路提供了互补的视角。
- 在实验中，通过观察方波响应的时域方法来调整 (C_1) 以实现完美补偿通常更容易。另一种与频域观点更一致的技术是先施加低频正弦波，再施加高频正弦波，并检查两种情况下的响应幅度是否相同。

2. 阻抗中的功率和能量

2.1 任意阻抗

2.1.1 电压和电流的复数振幅

考虑一个正弦源向任意阻抗 (Z = R + jX) 输送功率，如图 13.51 所示。一般正弦驱动可表示为：
[v_i(t) = |V_i|\cos(\omega t + \varphi)]
电压和电流的复数振幅分别为：
[V_i = |V_i|e^{j\varphi}]
[I_i = \frac{V_i}{Z} = \frac{|V_i|e^{j\varphi}}{R + jX} = \frac{|V_i|e^{j(\varphi - \theta)}}{\sqrt{R^2 + X^2}} = |I_i|e^{j(\varphi - \theta)}]
其中 (\theta = \tan^{-1}\frac{X}{R})。

2.1.2 计算功率

功率定义为 (v(t)) 和 (i(t)) 的乘积。由于功率不是 (v) 和 (i) 的线性函数，在功率计算中需谨慎使用阻抗概念。电流随时间的函数为：
[i(t) = \text{Re}[I_ie^{j\omega t}] = \frac{|V_i|}{\sqrt{R^2 + X^2}}\cos(\omega t + \varphi - \theta)]
瞬时功率为：
[p(t) = v_i i = \frac{|V_i|^2}{\sqrt{R^2 + X^2}}[\cos(\omega t + \varphi)][\cos(\omega t + \varphi - \theta)] = \frac{1}{2}\frac{|V_i|^2}{\sqrt{R^2 + X^2}}[\cos(2\omega t + 2\varphi - \theta) + \cos\theta]]
平均功率为瞬时功率的直流项：
[p = \frac{1}{2}\frac{|V_i|^2}{\sqrt{R^2 + X^2}}\cos\theta = \frac{1}{2}|V_i \parallel I_i|\cos\theta = \frac{1}{2}\text{Re}[V_iI_i^ ] = \frac{1}{2}\text{Re}[V_i^ I_i]]
其中 (I_i^ ) 是 (I_i) 的复共轭，(V_i^ ) 是 (V_i) 的复共轭。(\frac{1}{2}V_iI_i^*) 常称为复功率，其实部是平均功率（“实”功率），虚部是无功功率。

2.2 纯电阻

当阻抗为纯电阻 (R)（(X = 0)），且电压驱动为余弦波（(\varphi = 0)）时，瞬时功率为：
[p(t) = \frac{V_i^2}{2R}(1 + \cos 2\omega t)]
平均功率为：
[p = \frac{V_i^2}{2R}]
引入均方根（rms）电压 (V_{rms} = \frac{V_i}{\sqrt{2}})，平均功率可表示为：
[p = \frac{(V_{rms})^2}{R}]
大多数与交流电源线相关的电压以 rms 值表示，如 115 - V 交流电源插座的电压是 115 伏 rms，峰值为 (115 \times \sqrt{2} = 162.6) 伏。

2.3 纯电抗

2.3.1 电感情况

当阻抗仅由电感组成（(R = 0)），(\theta = \frac{\pi}{2})，假设电压驱动为余弦波（(\varphi = 0)），瞬时功率为：
[p(t) = \frac{V_i^2}{2X}\cos(2\omega t - \frac{\pi}{2}) = \frac{V_i^2}{2X}\sin 2\omega t]

2.3.2 电容情况

当阻抗仅由电容组成（(R = 0)），(X = -\frac{1}{\omega C})，(\theta = -\frac{\pi}{2})，瞬时功率为：
[p(t) = -\frac{V_i^2}{2X}\sin 2\omega t]
两种情况下平均功率均为零，即仅含电感和电容的电路不消耗功率，但会在每个周期的两个四分之一周期内吸收功率，并在另外两个四分之一周期内将功率返回给电源。电容和电感的平均储能分别为：
[W_C = \frac{1}{4}CV_i^2]
[W_L = \frac{1}{4}LI_i^2]

2.4 一般情况及示例

2.4.1 一般情况

当网络包含电阻、电容和电感时，功率流介于纯电阻和纯电抗情况之间。假设电路在感兴趣的频率下呈感性，(\theta) 为正且小于 (\frac{\pi}{2})，瞬时功率为：
[p(t) = \frac{1}{2}\frac{V_i^2}{\sqrt{R^2 + X^2}}[\cos(2\omega t - \theta) + \cos\theta]]

2.4.2 RC 电路示例

对于图 13.55 所示的 RC 电路，电流的复数振幅为：
[I_i = \frac{V_i}{Z} = \frac{V_i}{R + 1/j\omega C} = \frac{V_i}{\sqrt{R^2 + (1/\omega C)^2}}e^{-j\theta}]
其中 (\theta = \tan^{-1}\frac{1}{\omega RC})
平均功率为：
[p = \frac{1}{2}\frac{V_i^2}{\sqrt{R^2 + (1/\omega C)^2}}\cos\theta = \frac{1}{2}\frac{V_i^2}{|Z|}\cos\theta]
当 (\omega = \frac{1}{RC}) 时，平均功率为 (\frac{1}{2}\frac{V_i^2}{2R})，此频率也称为阻抗的半功率频率，因为此时平均功率是电容短路时的一半。由于电容不消耗平均功率，电阻消耗的平均功率等于电源向阻抗提供的平均功率。

下面用 mermaid 绘制一个简单的流程图来总结功率计算的步骤：

graph TD
    A[确定阻抗 Z = R + jX] --> B[计算电压和电流的复数振幅 Vi 和 Ii]
    B --> C[计算瞬时功率 p(t)]
    C --> D[计算平均功率 p]
    D --> E{判断阻抗类型}
    E -- 纯电阻 --> F[计算纯电阻功率情况]
    E -- 纯电抗 --> G[计算纯电抗功率情况]
    E -- 一般情况 --> H[计算一般情况功率]

以下是一个表格总结不同情况下的功率和能量相关公式：
|情况|瞬时功率 (p(t))|平均功率 (p)|储能|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|任意阻抗|(\frac{1}{2}\frac{|V_i|^2}{\sqrt{R^2 + X^2}}[\cos(2\omega t + 2\varphi - \theta) + \cos\theta])|(\frac{1}{2}\frac{|V_i|^2}{\sqrt{R^2 + X^2}}\cos\theta)| - |
|纯电阻|(\frac{V_i^2}{2R}(1 + \cos 2\omega t))|(\frac{V_i^2}{2R}=\frac{(V_{rms})^2}{R})| - |
|纯电感|(\frac{V_i^2}{2X}\sin 2\omega t)|0|(\frac{1}{4}LI_i^2)|
|纯电容|(-\frac{V_i^2}{2X}\sin 2\omega t)|0|(\frac{1}{4}CV_i^2)|
|RC 电路|(\frac{1}{2}\frac{V_i^2}{\sqrt{R^2 + (1/\omega C)^2}}[\cos(2\omega t - \theta) + \cos\theta])|(\frac{1}{2}\frac{V_i^2}{\sqrt{R^2 + (1/\omega C)^2}}\cos\theta)| - |

2.5 功率因数与功率传输

功率因数在电力系统中是一个重要的概念，它是指平均功率与视在功率的比值，即 (\cos\theta)。功率因数的大小反映了电路对电能的利用效率。当功率因数较低时，意味着电路中存在较大的无功功率，这会导致输电线路上的电流增大，从而增加了 (i^2R) 功率损耗。

为了提高功率因数，通常会在电路中加入电容或电感进行补偿。例如，对于感性负载（如电动机），可以并联一个合适的电容来提高功率因数。下面通过一个简单的例子来说明功率因数的影响。

假设有一个感性负载，其阻抗为 (Z = 10 + j10\Omega)，电压源的电压为 (V_i = 100\angle0^{\circ}V)。

1. 计算电流的复数振幅
   - (I_i=\frac{V_i}{Z}=\frac{100\angle0^{\circ}}{10 + j10}=\frac{100\angle0^{\circ}}{10\sqrt{2}\angle45^{\circ}} = 5\sqrt{2}\angle - 45^{\circ}A)
2. 计算平均功率
   - (p=\frac{1}{2}|V_i\parallel I_i|\cos\theta=\frac{1}{2}\times100\times5\sqrt{2}\times\cos45^{\circ}=250W)
3. 计算视在功率
   - (S = |V_i|\times|I_i|=100\times5\sqrt{2}=500\sqrt{2}VA)
4. 计算功率因数
   - (\cos\theta=\frac{p}{S}=\frac{250}{500\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2})

如果在该负载上并联一个电容 (C)，使得总阻抗的相位角 (\theta) 减小，功率因数就会提高。

2.6 最大功率传输定理

在电路中，我们常常希望从电源向负载传输最大功率。对于一个含有内阻 (Z_s = R_s + jX_s) 的电源和负载阻抗 (Z_L = R_L + jX_L)，当满足 (Z_L=Z_s^*)（即 (R_L = R_s) 且 (X_L=-X_s)）时，负载可以获得最大功率。

下面进行简单的推导：
设电源电压为 (V_s)，则负载电流为 (I=\frac{V_s}{Z_s + Z_L})，负载功率为 (P_L = |I|^2R_L=\frac{|V_s|^2R_L}{(R_s + R_L)^2+(X_s + X_L)^2})。
为了使 (P_L) 最大，对 (R_L) 和 (X_L) 分别求偏导数并令其为零。
- 对 (X_L) 求偏导数：(\frac{\partial P_L}{\partial X_L}=0)，可得 (X_L=-X_s)。
- 将 (X_L=-X_s) 代入 (P_L) 表达式，再对 (R_L) 求偏导数并令其为零：(\frac{\partial P_L}{\partial R_L}=0)，可得 (R_L = R_s)。

此时负载获得的最大功率为 (P_{Lmax}=\frac{|V_s|^2}{4R_s})。

用 mermaid 绘制一个流程图来总结最大功率传输的条件判断：

graph TD
    A[确定电源内阻 \(Z_s = R_s + jX_s\) 和负载阻抗 \(Z_L = R_L + jX_L\)] --> B{判断 \(Z_L=Z_s^*\)?}
    B -- 是 --> C[负载获得最大功率 \(P_{Lmax}=\frac{|V_s|^2}{4R_s}\)]
    B -- 否 --> D[调整负载阻抗使 \(Z_L=Z_s^*\)]
    D --> B

2.7 实际应用中的考虑

在实际的电路设计和电力系统中，功率和能量的问题至关重要。例如，在电子设备的电源设计中，需要考虑如何提高电源的效率，减少功率损耗，以延长电池的使用时间。在电力传输系统中，要尽量提高功率因数，降低输电线路的损耗。

在设计一个由电池供电的便携式设备时，我们可以按照以下步骤进行功率和能量的优化：
1. 选择合适的元件 ：选择低功耗的芯片和元件，减少不必要的功率消耗。
2. 优化电路结构 ：例如采用开关电源代替线性电源，提高电源转换效率。
3. 功率管理 ：设计合理的功率管理电路，在设备不工作时进入低功耗模式。

以下是一个表格总结实际应用中的功率优化策略：
|应用场景|优化策略|
| ---- | ---- |
|便携式设备|选择低功耗元件、优化电路结构、采用功率管理|
|电力传输系统|提高功率因数、优化输电线路|
|工业设备|合理选择电机和控制方式、进行无功补偿|

综上所述，对电路中的功率和能量进行深入分析和优化，能够提高电路的性能和效率，减少能源的浪费，在实际应用中具有重要的意义。同时，时域和频域分析方法为我们理解和设计电路提供了有力的工具，它们相互补充，帮助我们更好地解决电路中的各种问题。