22、通过预滤波修改频率加权：提升最小二乘法在频率域中的性能

通过预滤波修改频率加权：提升最小二乘法在频率域中的性能

1. 引言

在控制系统设计中，尤其是数字控制器设计中，频率响应的误差往往比参数误差更为重要。最小二乘法（LS）虽然简单且易于实现，但在频率域中对传递函数模型的拟合效果存在偏差，尤其是在低频和中频区域。为了改进这一点，通过预滤波修改频率加权成为了一种有效的策略。本文将详细介绍如何通过预滤波调整频率加权，以提高最小二乘法在频率域中的性能，并介绍 Steiglitz-McBride 方法作为具体的实现手段。

2. 频率加权的重要性

在许多工业应用中，频率响应的准确性至关重要。例如，在控制设计中，我们更关心模型在频率域中的行为，而非参数的准确性。最小二乘法在频率域中的加权问题主要体现在它倾向于在高频处施加重权重，而在低频和中频处的拟合效果较差。这会导致模型在低频和中频区域的表现不佳，进而影响控制系统的性能。

为了克服这一问题，我们可以通过调整频率加权来改进模型的频率响应特性。具体来说，频率加权的目标是确保在感兴趣的频率范围内，传递函数的拟合效果更好，从而提高模型的整体准确性。

3. 预滤波的基本原理

假设所需的频率加权为 ( w^2(i\omega) )，那么我们可以通过以下两种方式实现这一加权：

1. 输入设计 ：选择一个测试输入 ( u(t) )，使其谱 ( \Phi_u(\omega) ) 具有特定形式。例如，通过设计输入信号的频谱，使其在低频和中频区域有更多的能量，从而提高这些频率范围内的拟合效果。

2. 预滤波