HDU - 4283 You Are the One（区间DP）

题意：

给定$N$个人，编号分别为$1-N$，按顺序进栈，随意选择出栈顺序，每个编号为$i$的人在第$k$个出栈时，其花费为：$v[i] * (k-1)$. 求所有可能的出栈顺序中，总花费的最小值？

思路：

非常好的DP题目，一旦想到状态定义后，后面的东西就简单了。
一开始，由于这个跟卡特兰计数非常相关，我自己想的定义$dp[i][j][k]$ 为目前进栈了$i$个出栈了$j$个，栈顶元素为$k$情况下最小的花费值，有个问题就是必须得维护栈的状态，因为进行出栈操作后，就不知道次栈顶的元素是哪个了？维护栈的状态行不通，GG。
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正确的思路是区间DP：考虑区间第一个人是第几个出栈，由他产生的花费。记录$dp[1][n]$为所有人不同出栈顺序中最小的花费，那么设第一个人第$k$个出场，则：$[2, k]$内这$k-1$个人一定在第一个人之前出场，且$[k+1, n]$这些人一定在第一个人之后出场。然后考虑第一个人第$k$个出场带来的花费：
1、第一部分，自身花费：$v[1] * (k-1)$
2、第二部分，给后面出场的人带来的花费：$k*(sum[n] - sum[k])$ （sum为前缀和）

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define PB push_back
#define FT first
#define SD second
#define MP make_pair
#define INF 0x7fffffff
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int,int>  P;
typedef vector<int> VI;
typedef map<int,int> MII;
const int N = 105, MOD = 7+1e9;
int n, d[N][N], sum[N];
int ds[105];
int dp(int L, int R) 
{
    if(L >= R) return 0;
    if(d[L][R] != -1) return d[L][R];
    d[L][R] = INF;
    for(int i = L; i <= R; i++)
    {
        d[L][R] = min(d[L][R], dp(L+1, i) + (i-L)*ds[L] + dp(i+1, R) + (sum[R]-sum[i]) * (i+1-L));
    }
    return d[L][R];
}
int kase;
int main() 
{
#ifdef YUUKILP
    freopen("in.txt", "r", stdin);
#endif
    int t; cin >> t;
    while(t--) 
    {
        memset(d, -1, sizeof(d));
        cin >> n;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {  
            cin >> ds[i];
            sum[i] = sum[i-1] + ds[i];  
        }
        printf("Case #%d: %d\n", ++kase, dp(1, n));  
    }
    return 0;  
}