整数划分问题【DP】

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本文详细介绍了整数划分的动态规划算法，包括整数划分的定义、m划分的概念及计算方法。通过实例和动规算法实现，阐述了如何求解给定整数的m划分个数。

整数划分的定义：

n=m1+m2+…+mi; （其中mi为正整数，并且1 <= mi <= n），则{m1,m2,…,mi}为n的一个划分。
如果{m1,m2,…,mi}中的最大值不超过m，即max(m1,m2,…,mi)<=m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);
举个例子，当n=5时我们可以获得以下这几种划分（注意，例子中m>=5）
5 = 5
= 4 + 1
= 3 + 2
= 3 + 1 + 1
= 2 + 2 + 1
= 2 + 1 + 1 + 1
= 1 + 1 + 1 + 1 + 1

动规算法的解法：

根据n和m的关系，考虑以下几种情况：
1. 当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};
2. 当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,…,1};
3. 当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：
(1) 划分中包含n的情况，只有一个即{n}；
(2) 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);
4. 当n

#include<stdlib.h>  
#include<ctype.h>  
#include<algorithm>  
#include<vector>  
#include<string>  
#include<queue>  
#include<stack>  
#include<set>  
#include<map>  
#include <string>  
#include <sstream>  

using namespace std;

int n, m;
int dp[100][100];

int main()
{
    while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        dp[1][1] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= m; j++)
            {
                if (i == 1 || j == 1)
                    dp[i][j] = 1;
                else if (i < j)
                    dp[i][j] = dp[i][i];
                else if (i == j)
                    dp[i][j] = 1 + dp[i][i - 1];
                else if (n>m)
                    dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - j][j];
            }
    }
    return 0;
}