DP算法之整数划分

最新推荐文章于 2022-07-02 11:39:54 发布

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#dp算法

本博客探讨了整数划分问题，即在给定的整数n中加入m-1个乘号，将其分为m段并求出最大乘积。通过分析不同乘号数量下的最优解结构特征，实现了一种有效算法来解决该问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

整数划分（四）

时间限制：1000 ms | 内存限制：65535 KB

难度：3

描述

暑假来了，hrdv 又要留学校在参加ACM集训了，集训的生活非常Happy（ps：你懂得），可是他最近遇到了一个难题，让他百思不得其解，他非常郁闷。。亲爱的你能帮帮他吗？

问题是我们经常见到的整数划分，给出两个整数 n , m ,要求在 n 中加入m - 1 个乘号，将n分成m段，求出这m段的最大乘积

输入

第一行是一个整数T，表示有T组测试数据
接下来T行，每行有两个正整数 n，m ( 1<= n < 10^19, 0 < m <= n的位数)；

输出

输出每组测试样例结果为一个整数占一行

样例输入

2
111 2
1111 2

样例输出

121

思路：

先求前一个乘号时，2位数的积、3位数的积....

再求二个乘号时，2位数的积、3位数的积....

其中最优解的结构特征：

dp[j][i]=MAX(dp[j][i],dp[k][i-1]*num[k+1][j]);

dp[k][i-1]  乘号前的数字

num[k+1][j]  乘号后的数字

AC代码：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include <iostream>
using namespace std;
long long t,dp[25][25];
long long num[25][25];
char str[25];
long long MAX(long long a,long long b)
{
	return a>b?a:b;
}
int main()
{
	int i,j,k,m;
	scanf("%lld",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%s%d",str,&m);
		int l=strlen(str);m--;  
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		memset(num,0,sizeof(num));
		for(i=0;i<l;++i)
		{
			num[i][i]=str[i]-'0';
			for(j=i+1;j<l;++j)
			{
				num[i][j]=num[i][j-1]*10+str[j]-'0'; 
			}
		}
		
		for(i=0;i<l;++i){
		for(j=0;j<l;++j)
		cout<<num[i][j]<<'\t';
		cout<<endl;	
		}
		
		
		for(i=0;i<l;++i)
		{
			dp[i][0]=num[0][i];
		}
		for(i=1;i<=m;++i)         //乘号位数
		{
			for(j=i;j<l;++j)   // 控制前j位数参与运算
			{
				for(k=0;k<j;++k)  //控制乘号位置
				{
					dp[j][i]=MAX(dp[j][i],dp[k][i-1]*num[k+1][j]); 
				}
			}
		}
			for(i=0;i<l;++i){
		for(j=0;j<l;++j)
		cout<<dp[i][j]<<'\t';
		cout<<endl;	
		}
		printf("%lld\n",dp[l-1][m]);
	}
	return 0;
}

样例输入

53241

得到NUM数组为：

DP数组为：

其中列数代表乘号数量，如第0列代表不加乘号，其中最后结果的最大值为53241（原数）

第1列代表加入一个乘号，其中第n行为前n位数参与运算，如第2行，有5和3参与运算加入一个乘号为15；

第3行，有5，3，2参与运算加入一个乘号的最大结果160。

题目中说：n<10ˇ19

但long long类型的最大数据为：9223372036854775807 存在越界风险啊...但OJ并没有报错....应该是测试数据不完善吧...

附加各种数据取值范围：

unsigned   int   0～4294967295
int   2147483648～2147483647
unsigned long 0～4294967295
long   2147483648～2147483647
long long的最大值：9223372036854775807
long long的最小值：-9223372036854775808
unsigned long long的最大值：1844674407370955161

__int64的最大值：9223372036854775807
__int64的最小值：-9223372036854775808
unsigned __int64的最大值：18446744073709551615