整数划分(DP)

一个正整数 n 可以表示成若干个正整数之和，形如：n=n1+n2+…+nk，其中 n1≥n2≥…≥nk,k≥1。

我们将这样的一种表示称为正整数 n 的一种划分。

现在给定一个正整数 n，请你求出 n 共有多少种不同的划分方法。

输入格式

共一行，包含一个整数 n。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示总划分数量。

由于答案可能很大，输出结果请对 109+7 取模。

数据范围
1≤n≤1000
输入样例:

5

输出样例：

7

思路：

两种思路，一种是完全背包解法，另一种其他解法；

1.完全背包：

状态表示：
f[i][j]表示只从1~i中选，且总和等于j的方案数

方案有很多种，用不到i，用到一个i,用到两个i.......,这些方案之和即为f[i][j];

即：f[i][j] = f[i-1][j] + f[i-1][j-i] + f[i-1][j-2*i] +  ...;

又     f[i][j - i] = f[i - 1][j - i] + f[i - 1][j - 2 * i] + ...;

因此 f[i][j]=f[i−1][j]+f[i][j−i]；

// f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - i]
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e3 + 7, mod = 1e9 + 7;

int f[N][N];

int main() {
    int n;
    cin >> n;

    for (int i = 0; i <= n; i ++) {
        f[i][0] = 1; // 容量为0时，前 i 个物品全不选也是一种方案
    }

    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        for (int j = 0; j <= n; j ++) {
            f[i][j] = f[i - 1][j] % mod; // 特殊 f[0][0] = 1
            if (j >= i) f[i][j] = (f[i - 1][j] + f[i][j - i]) % mod;
        }
    }

    cout << f[n][n] << endl;
}

根据背包问题，可以一维化

// f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - i]
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e3 + 7, mod = 1e9 + 7;

int f[N];

int main() {
    int n;
    cin >> n;


    f[0] = 1; // 容量为0时，前 i 个物品全不选也是一种方案

    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        for (int j = i; j <= n; j ++) {
            f[j] = (f[j] + f[j - i]) % mod;
        }
    }

    cout << f[n] << endl;
}

2.其他方法：

状态表示：
f[i][j]表示总和为i，总个数为j的方案数；

 如图，分为两种状态计算，（1）.每种方案种最小值是1，即每种方案必含1.（2）.每种方案种最小值大于1，即每种方案必不含1.

那么（1）中每种方案去掉1方案集合数不变，即为f[i-1][j-1];（2）中每种方案中的每个数都减去1，则i要减去j个1，j 不变，方案集合数不变，即为f[i-j][j];

所以f[i][j] = f[i-1][j-1] + f[i-j][j];

ans = f[n][1] + f[n][2] + ... + f[n][n];

//f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + f[i - j][j]

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1010, mod = 1e9 + 7;

int f[N][N];
int n;

int main()
{
    cin>>n;
    f[1][1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= i; j++)
        {
            f[i][j] = (f[i-1][j-1] + f[i-j][j])%mod;
        }
    }
    int res = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    res = (res+f[n][i])%mod;
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}