最长公共子序列和子串—DP

最长公共子序列

1）.子串应该比较好理解，至于什么是子序列，这里给出一个例子：有两个母串
cnblogs
belong
比如序列bo, bg, lg在母串cnblogs与belong中都出现过并且出现顺序与母串保持一致，我们将其称为公共子序列。最长公共子序列（Longest Common Subsequence,LCS），顾名思义，是指在所有的子序列中最长的那一个。子串是要求更严格的一种子序列，要求在母串中连续地出现。在上述例子的中，最长公共子序列为blog（cnblogs,belong），最长公共子串为lo（cnblogs, belong）。
2）. 求解算法对于母串X=, Y=，求LCS与最长公共子串。
暴力解法
假设 m
动态规划
假设Z=是X与Y的LCS， 我们观察到
如果Xm=Yn，则Zk=Xm=Yn，有Zk−1是Xm−1与Yn−1的LCS；
如果Xm≠Yn，则Zk是Xm与Yn−1的LCS，或者是Xm−1与Yn的LCS。
因此，求解LCS的问题则变成递归求解的两个子问题。但是，上述的递归求解的办法中，重复的子问题多，效率低下。改进的办法——用空间换时间，用数组保存中间状态，方便后面的计算。这就是动态规划（DP)的核心思想了。
DP求解LCS
用二维数组c[i][j]记录串x1x2⋯xi与y1y2⋯yj的LCS长度，则可得到状态转移方程

代码实现

 int findLCS(string A, int n, string B, int m) {
        if(A.empty() || B.empty() || n == 0 || m == 0)
            return 0;
        vector<vector<int>> num(n+1, vector<int>(m+1));
        for(int i = 0; i <= n; i++){
            for(int j = 0; j <= m; j++){
                if(i == 0 || j == 0)
                    num[i][j] = 0;
                else if(A[i-1] == B[j-1])
                    num[i][j] = num[i-1][j-1] + 1;
                else
                    num[i][j] = max(num[i-1][j], num[i][j-1]);
            }
        }
        return num[n][m];
    }

最长公共子串

前面提到了子串是一种特殊的子序列，因此同样可以用DP来解决。定义数组的存储含义对于后面推导转移方程显得尤为重要，糟糕的数组定义会导致异常繁杂的转移方程。考虑到子串的连续性，将二维数组c[i][j]用来记录具有这样特点的子串——结尾同时也为为串x1x2⋯xi与y1y2⋯yj的结尾——的长度。
得到转移方程：

最长公共子串的长度为 max(c[i,j]), i∈{1,⋯,m},j∈{1,⋯,n}。
代码实现

    int findLongest(string A, int n, string B, int m) {
        if(A.empty() || B.empty() || n == 0 || m == 0)
            return 0;
        vector<vector<int>> num(n+1, vector<int>(m+1));
        int result = 0;
        for (int i = 0; i <= n; i++){
            for(int j = 0; j <= m; j++){
                if (i == 0 || j == 0)
                        num[i][j] = 0;
               else if(A[i-1] == B[j-1]){
                    num[i][j] = num[i - 1][j - 1] + 1;
                    result = max(result, num[i][j]);
               }else
                   num[i][j] = 0;
            }
        }
           return result;
        // write code here
    }