LA3523.Knights of the Round Table圆桌骑士——点双连通分量+二分图判断

最新推荐文章于 2019-10-24 16:15:36 发布

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分类专栏： # 图论

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本文探讨了如何通过无向图的补图来解决骑士会议中避免憎恨相邻的问题，进而统计出不可能参加任何会议的骑士数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

http://www.bnuoj.com/v3/problem_show.php?pid=3061

题目描述：
有n个骑士经常举行圆桌会议，商讨大事。每次圆桌会议至少应有3个骑士参加，且相互憎恨的骑士不能坐在圆桌旁的相邻位置。如果发生意见分歧，则需要举手表决，因此参加会议的骑士数目必须是奇数，以防止赞同和反对票一样多。知道哪些骑士相互憎恨之后，你的任务是统计有多少个骑士不可能参加任何一个会议。

分析：
以骑士为结点建立无向图G。如果两个骑士可以相邻（即他们并不相互憎恨），在他们之间连一条无向边（求原图的补图）。
则题目转化为求不在任何一个简单奇圈上的结点个数。如果图G不连通，应对每个连通分量分别求解。

两个定理：
1.如果一个双连通分量内的某些顶点在一个奇圈中（即双连通分量含有奇圈），那么这个双连通分量的其他顶点也在某个奇圈中；

2.如果一个双连通分量含有奇圈，当且仅当它是一个二分图。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
const int MAXN=1010;
const int MAXM=2000010;
using namespace std;
int low[MAXN],dfn[MAXN],Stack[MAXN],bccno[MAXN];
int dfs_clock,block,top;
bool instack[MAXN];
int g[MAXN][MAXN];

bool can[MAXN],ok[MAXN];
int color[MAXN],tmp[MAXN],cc;
struct Edge {
    int to,next;
} edge[MAXM];
int head[MAXN],tot;
void addedge(int u,int v){
    edge[tot].to=v;edge[tot].next=head[u];head[u]=tot++;
}
void init(){
    tot=0;
    memset(head,0xff,sizeof(head));
}
bool dfs(int u,int col){
    color[u]=col;
    for(int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].next) {
        int v=edge[i].to;
        if(!ok[v]) continue;
        if(color[v]!=-1) {
            if(color[v]==col) return false;
            continue;
        }
        if(!dfs(v,!col)) return false;
    }
    return true;
}
void Tarjan(int u,int pre){
    int v;
    low[u]=dfn[u]=++dfs_clock;
    instack[u]=1;
    Stack[top++]=u;
    for(int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].next) {
        v=edge[i].to;
        if(v==pre) continue;
        if(!dfn[v]) {
            Tarjan(v,u);
            if(low[u]>low[v]) low[u]=low[v];
            if(low[v]>=dfn[u]) {
                block++;
                int vn;
                cc=0;
                memset(ok,false,sizeof(ok));
                for(;;) {
                    vn=Stack[--top];
                    bccno[vn]=block;
                    ok[vn]=1;
                    instack[vn]=0;
                    tmp[cc++]=vn;
                    if(vn==v) break;
                }
                ok[u]=1;
                memset(color,0xff,sizeof(color));
                if(!dfs(u,0)) {
                    can[u]=true;
                    while(cc--) can[tmp[cc]]=true;
                }
            }
        }
        else if(instack[v]&&low[u]>dfn[v])
            low[u]=dfn[v];
    }
}
void solve(int n){
    memset(dfn,0,sizeof(dfn));
    memset(instack,false,sizeof(instack));
    memset(can,false,sizeof(can));
    dfs_clock=top=block=cc=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        if(!dfn[i]) Tarjan(i,-1);
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        if(!can[i]) ans++;
    }
    printf("%d\n",ans);
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("in.cpp","r",stdin);
#endif // ONLINE_JUDGE
    int n,m,u,v;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)==2){
        memset(g,0,sizeof(g));
        if(n==0&&m==0) break;
        for(int i=0;i<m;++i){
            scanf("%d%d",&u,&v);
            g[u][v]=g[v][u]=1;
        }
        init();
        for(int i=1;i<=n;++i){
            for(int j=1;j<=n;++j){
                if(i!=j&&!g[i][j]) addedge(i,j);
            }
        }
        solve(n);
    }
    return 0;
}