列生成和分支定价

这段时间学习列生成和分支定价,对于没有什么数学基础的我来讲,这个过程很艰难啊。大致梳理一下思路,做个小结,有些地方不是很深入,可能存在错误。
先理解单纯形方法再理解列生成会比较容易,有点懒~~~就不写了。
1. 列生成(Golumn Generation)
        列生成算法适用于求解一类每个决策方案对应整体规划模型中约束矩阵的一列的组合优化问题。该算法不是直接同时处理所有的候选方案,而是基于当前生成的列的子集,通过限制主问题进行优化求解;其余的候选方案可以改善限制主问题当前最优解时,才会进入该子集。
        和单纯形方法相比,单纯形算法的进基变量是模型存在的变量,而列生成的进基变量是通过求解子问题生成。对于最小化问题来讲,进基列为判别数最大的一列,在列生成算法中,在所有的子问题中,求判别数最大的一列加入到限制主问题中,如果最大判别数小于0,则求解达到了最优。
2. 列生成应用举例
        Cutting Stock Problem:有三种长度为9,14,16的木材,成本价分别为5,9,10,需要切割长度为4的成品 30个;长度为5的成品20个;长度为7的成品40个,求解切割方案,使得总体成本价最低。
在这里插入图片描述
可枚举部分切割方案如下:
在这里插入图片描述在这里插入图片描述
---在这里插入图片描述
限制主问题和子问题的关系为:
在这里插入图片描述

3. 分支定价(Branch and Price)
        使用列生成求解整数规划问题时,通常会将限制主问题松弛为线性规划问题,得到线性松弛问题的最优解后,再用整数规划求解。但是这样做往往得不到整数最优解,因此需要使用分支定价求整数最优解。
        分支定价算法通过根据检验数不断生成新列的方法提高分支定界方法求解线性松弛问题的效率。
        关于分支定价的基本描述可以参考https://en.wikipedia.org/wiki/Branch_and_price
        通过查阅相关资料,总结其流程图如下,思路也就差不多清楚了。对于最大化问题的分支定价方法流程:
在这里插入图片描述

### 关于分支定价与机器学习的论文复现方法及代码实现 分支定价(Branch-and-Price)是一种结合了分支定界法列生成技术的优化方法,广泛应用于组合优化问题中。近年来,随着机器学习技术的发展,分支定价算法逐渐融入了机器学习的思想,以提高求解效率模型性能。 在文献中,分支定价与机器学习的结合通常涉及以下几种方式: - 使用机器学习预测模型来改进列生成过程中的启发式搜索[^3]。 - 利用深度学习模型对分支变量的选择进行优化[^4]。 - 将强化学习引入分支定价算法,以动态调整参数或选择更优的分支策略[^5]。 #### 1. 分支定价与机器学习结合的核心思想 分支定价的核心在于通过列生成技术减少计算复杂度,而机器学习的应用可以进一步提升算法性能。例如,可以通过训练神经网络模型来预测哪些列更有可能被选入最终解,从而加速列生成过程[^6]。此外,强化学习可以用于动态调整分支策略,使得算法能够更好地适应不同的问题实例[^7]。 #### 2. 论文复现的关键步骤 尽管具体实现可能因论文而异,但通常包括以下几个方面: - **数据准备**:收集或生成适用于分支定价问题的数据集,并将其划分为训练集测试集。 - **模型构建**:设计适合分支定价问题的机器学习模型,例如基于图神经网络(Graph Neural Networks, GNNs)的列生成预测模型[^8]。 - **算法集成**:将机器学习模型嵌入到传统的分支定价框架中,例如通过预测结果指导列生成或分支决策。 - **实验验证**:在标准数据集上测试算法性能,并与传统方法进行对比分析。 #### 3. 示例代码实现 以下是一个简单的代码示例,展示如何使用PythonPyTorch实现一个基于机器学习的列生成预测模型: ```python import torch import torch.nn as nn # 定义神经网络模型 class ColumnGenerationPredictor(nn.Module): def __init__(self, input_dim, hidden_dim, output_dim): super(ColumnGenerationPredictor, self).__init__() self.fc1 = nn.Linear(input_dim, hidden_dim) self.relu = nn.ReLU() self.fc2 = nn.Linear(hidden_dim, output_dim) def forward(self, x): out = self.fc1(x) out = self.relu(out) out = self.fc2(out) return out # 初始化模型、损失函数优化器 input_dim = 10 # 输入特征维度 hidden_dim = 20 # 隐藏层维度 output_dim = 1 # 输出维度 model = ColumnGenerationPredictor(input_dim, hidden_dim, output_dim) criterion = nn.MSELoss() optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=0.01) # 模拟数据 X = torch.randn(100, input_dim) # 特征矩阵 y = torch.randn(100, output_dim) # 目标值 # 训练模型 for epoch in range(100): model.train() optimizer.zero_grad() outputs = model(X) loss = criterion(outputs, y) loss.backward() optimizer.step() if (epoch+1) % 10 == 0: print(f'Epoch [{epoch+1}/100], Loss: {loss.item():.4f}') ``` 上述代码展示了如何构建一个简单的神经网络模型,用于预测列生成过程中某些列的重要性[^9]。 #### 4. 开源资源推荐 对于寻找分支定价与机器学习结合的具体实现,可以参考以下开源资源: - **GitHub仓库**:许多研究者会将其实验代码上传至GitHub,关键词搜索如“branch and price machine learning”可能会找到相关项目。 - **学术平台**:如arXiv、ResearchGate等平台上发布的论文通常附带代码链接。 - **社区讨论**:Stack Overflow、Reddit等社区中也有相关话题的讨论,可能包含有价值的实现细节。 ###
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