每日一题之 hiho194 图像算子

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本文介绍了一种通过高斯消元法解决图像处理中算子矩阵未知的问题。给定原始图像矩阵A和处理后矩阵B，通过列主元消元算法求解未知的算子矩阵Op，用于图像平滑或边界检测。

题目1 : 图像算子
时间限制:10000ms
单点时限:1000ms
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描述
在图像处理的技术中，经常会用到算子与图像进行卷积运算，从而达到平滑图像或是查找边界的效果。

假设原图为H × W的矩阵A，算子矩阵为D × D的矩阵Op，则处理后的矩阵B大小为(H-D+1) × (W-D+1)。其中：

B[i][j] = ∑(A[i-1+dx][j-1+dy]*Op[dx][dy]) | (dx = 1 .. D, dy = 1 .. D), 1 ≤ i ≤ H-D+1, 1 ≤ j ≤ W-D+1

给定矩阵A和B，以及算子矩阵的边长D。你能求出算子矩阵中每个元素的值吗？

输入
第1行：3个整数，H, W, D，分别表示原图的高度和宽度，以及算子矩阵的大小。5≤H,W≤60，1≤D≤5，D一定是奇数。

第2..H+1行：每行W个整数，第i+1行第j列表示A[i][j]，0≤A[i][j]≤255

接下来H-D+1行：每行W-D+1个整数，表示B[i][j]，B[i][j]在int范围内，可能为负数。

输入保证有唯一解，并且解矩阵的每个元素都是整数。

输出
第1..D行：每行D个整数，第i行第j列表示Op[i][j]。

样例输入
5 5 3
1 6 13 10 3
13 1 5 6 15
8 2 15 0 12
19 19 17 18 18
9 18 19 5 17
22 15 6
35 -36 51
-20 3 -32
样例输出
0 1 0
1 -4 1
0 1 0

思路：

高斯消元求解。顺便复习复习一下列主元消元的算法。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <vector>

using namespace std;
const int maxn=70;
const int maxm=90;

int H,W,D;

double A[maxn][maxn];
double B[maxn][maxn];
double X[maxm][maxm];
double b[maxm];


const double eps=1e-9;


// 列主元消元法
int gauss_elimination(int n,double a[][maxm],double b[])
{   
    double mx;
    int i,j,k,row;
    for ( k = 1; k <= n; ++k) { //先列后行

        for ( i = k,mx = 0; i <= n; ++i) { //找当前列的主元
            if (fabs(a[i][k]) > fabs(mx)) {
                mx = a[i][k];
                row = i;
            }
        }
        if (fabs(mx) < eps) return 0; // mx = 0 则无解

        if (row != k) { // 进行行变换将列主元所在的行换到当前的行

            for (j = k; j <= n; ++j) {
                swap(a[row][j],a[k][j]);
            }
            swap(b[row],b[k]);
        }

        //消元过程
        for (j = k+1; j <= n; ++j) { // col 
            for (a[k][j] /= mx, i = k+1; i <= n; ++i) { //row
                a[i][j] -= a[i][k] * a[k][j];
            }
        }

        for (b[k] /= mx, i = k+1; i <= n; ++i)
            b[i] -= b[k]*a[i][k];
    }
    // 回代求解 因为都归一了 所以 a[i][i] = 1;

    for ( i = n; i >= 1; --i) 
        for ( j = i+1; j <= n; ++j)
            b[i] -= a[i][j] * b[j];

    return 1;
}

int main(){

    cin>>H>>W>>D;

    for(int i = 1; i <= H; ++i) {
        for(int j = 1; j <= W; ++j){
            cin>>A[i][j];
        }
    }
    for(int i = 1; i <= H-D+1; ++i){
        for(int j = 1;j <= W-D+1; ++j){
            cin>>B[i][j];
        }
    }

    for (int i = 1 ; i <= D*D; ++i) {
        int xoffset = (i-1) / (W-D + 1); //x 的偏移量
        int yoffset = (i-1) % (W-D + 1); //y 的偏移量

        for (int j = 1; j <= D; ++j) {
            for (int k = 1; k <= D; ++k) {
                X[i][(j-1)*D+k] = A[xoffset + j][yoffset + k];
            }
        }
        b[i] = B[xoffset+1][yoffset+1];
    }

    gauss_elimination(D*D,X,b);

    for (int i = 1; i <= D; ++i) {
        for (int j = 1; j <= D; ++j)
            cout << int(round(b[(i-1)*D + j])) <<" ";
        cout << endl;
    }

    return 0;
}