力学分支物理力学与理性力学的演进

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注：本文为 “力学分支物理力学与理性力学的演进” 相关文献“考古”合辑。
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物理力学的产生及其发展

陈致英, 崔季平
中国科学院力学研究所
中国科学院机构力学研究所

陈致英, 崔季平. 物理力学的产生及其发展[J]. 力学与实践, 1979, 1(2): 7-11. doi: 10.6052/1000-0879-1979-028

物理力学是近代力学一个新的分支，它是研究宏观力学现象的微观理论的学科。

物理力学的基本目的是：从构成物质的微观粒子（如原子、分子、电子）的性质及其相互作用出发，找出介质和材料的宏观力学性质的计算方法，并且探讨力学运动规律的微观表述形式，使力学同题约解获建立在微观分析的基础上。物理力学是介于力学和物理学之间的一门边缘学科，因此，物理力学的产生是力学在发展中同物理学相互影响、相互渗透的必然结果。

在力学向微观领域延伸和推进的过程中，它对物理学的其它分支由宏观向微观的发展作出了贡献，经典统计力学和分子运动论的建立就是说明这种发展的一个典型例子，它们正是宏观的热力学和输运过程理论的微观化。

二十世纪以来，人们在认识微观世界的物质运动规律方面建立了以量子力学为代表的微观力学理论体系。四十年代以来，出现了一些新的发展，那就是在宏观力学的研究中引入微观力学的知识，用它来武装宏观力学本身，解决宏观力学中的问题，也就是要把宏观力学的理论和方法来一个微观化，这就是物理力学的概念。

一

从力学学科发展的需要来看，物理力学要解决两个方面的问题：一是关于物性；二是关于运动规律。物理力学就是通过这两个方面的微观化，使得力学问题的解决建立在微观分析的基础上。

必须指出，关于物性和运动规律的划分，这是宏观力学里的概念。如果从微观的概念来看，无论物性还是运动规律都是微观粒子集体行为的表现 ${^1}$ 。因为我们现在谈微观化的目的是着眼于解决宏观力学中的问题，而且今后物理力学的研究总是与宏观力学对应地发展，所以沿用这个划分是有实际意义的。此外，在物理力学中，物性和运动规律的划分，也可以看成研究工作中的两个层次。对一些问题的微观化可以解决到物性这个层次，对另一些问题可以进而解决到运动规律这个层次，如果有些问题中这两个层次分不清，那就统一解决。

${^1}$ 这里所说的微观粒子一词泛指分子、原子、电子、离子以及其它构成聚集态物质的粒子。

下面分两个方面谈谈微观化的问题：

第一，关于物性。对物性的研究，历来是力学的一部分，描写物性的参数表现为运动方程组中的一些系数，如弹性系数、粘性系数，热导率、比热、辐射吸收系数以及材料的强度等。为了求解运动方程组，必须预先知道它们的数值。在传统的力学中，这些物性参数是由实验测定的；而在物理力学中，采用微观分析与宏观数据相结合的方法来求得这些参数，不必一一去测定它们。

关于气体、液体、固体的平衡性质、输运性质及辐射性质的微观理论和计算方法，在文献中有系统的阐述。

物性问题微观化的理论基础是量子力学、统计力学和分子运动论。虽然物理力学基于这些学科中的基本原理，但它还不同于这些原理本身，在应用这些原理时，物理力学不仅要找出各种物质性质的微观规律性，而且要寻求预见新的物质性质的手段，并尽可能做出实际可用的结果。因此，在物理力学中，不能简单地搬用这些物理原理，而必须在应用时加以发展——建立新的理论模型、发展新的概念和方法。如果问题的理论比较成熟，可以从原子的波函数算起，直到把宏观物性算出来。如果问题比较复杂，也可以从某一中间层次做起；必要时还要结合某些宏观实验数据，灵活地加以处理，即所谓半理论半经验的方法。

以高压状态方程为例。要求得状态方程，首先需要把统计配分函数算出来。由分子间的相互作用势，经过配分函数算出状态方程，这是一个层次。而相互作用势由两个分子的波函数来计算，这又是一个层次，分子的波函数由原子的能态、核间振动及分子的转动来决定，这已是第三个层次了。如果对每种物质都从很深的微观层次算起，实际上是做不到的。为了真正能解决问题，我们通过理论分析把分子相互作用势函数的形式确定下来，其中留下几个待定系数，然后用一些经验办法定出这些系数，就找出了作用势，由此出发计算状态方程，就可以避开繁杂的量子力学的计算。即使这样，最后一个层次的计算仍然是十分困难的，通常要采用一些近似的理论模型，才能得出可用的结果来。有时，这种办法还有困难，那就连最后这一计算都省略了，这时可以采用分子作用势中的系数作为对比参数把宏观物性无量纲化，由实验数据总结出无量纲的状态方程，把它推广用于各种物质，这叫做微观参数对比态法。总之，我们的目的是做到解决实际问题的程度，即“做到底”，但从哪个层次引入实验数据则有其灵活性，这就要根据实际对象的特点，对它的微观本质作出正确的分析。

所谓“做到底”也有个层次问题，有的问题可能做到物性为止，有的也许要涉及运动规律，这也都要根据实际情况而定。在解决凝聚炸药爆震参数计算的问题时，似乎只需要用微观分析提供一个高压气体状态方程就可以了。实际做起来，很难停止在这个层次。这是因为这样的高压气体并不单纯，状态方程和成分有关，成分又受状态变数的影响；同时状态方程往往还给不出一个解析表达式。要把这个工作做到解决问题的程度，不涉及爆震波的动力学方程组是不可能的。

第二，关于力学运动规律的微观化问题。力学的运动规律内容很广，是否能像从统计力学推导热力学定律那样，把它们都表示成微观的形式呢？从原则上说，由于物质的宏观运动是微观粒子行为的集体表现，从微观粒子的运动（包括内部自由度的运动）及其相互作用推出宏观的运动规律应是可能的，但实际上离着这个目标还远。对于接近平衡态的问题，只要解决了物性问题，其余已没有原则的困难，因此不存在把运动方程本身微观化的迫切需要。当我们研究远离平衡态的问题时，情况就不同了。

让我们看看激波结构问题的例子，由于在激波前后的物态有大幅度的变化，在波阵面的一定厚度内，物质处于远离平衡的状况。在这里，有些宏测物态参数已经失去意义：关于平衡性质的统计理论和关于离平衡小偏差的输运性质的理论都不适用了，不能再像前面说的那样把物性问题从动力学问题中分开来处理，这就需要从关于分子运动的描述（例如从玻尔兹曼方程出发）来直接求解。六十年代上半期，对无内部自由度影响的激波结构问题取得了进展。这是由于计算手段的提高，使得能够对玻尔兹曼方程或由它简化得到的模型的数学方程求高次精确解，以及能够实现激波管和稀薄气体风洞中较高的区域分辨率的测量，这个问题的处理虽是初步的，但它是在力学运动规律微观化这样一个方向上取得的值得重视的进展。另外一个类似的例子是爆震波反应区结构的研究。这是一个比激波结构更为复杂的问题。到目前虽已进行了不少研究，但还只是一些近似的处理。解决这个问题的困难不仅在于理论上的复杂性，而且还有实验手段的不够。

关于分子气体动力激光器中非平衡流的问题。这是由于分子内部自由度的弛豫性质而在高速膨胀的气流中产生的不平衡现象。在这种气流中，由于分子的平动和振动自由度之间的不平衡，没有统一的温度（宏观参量）能够来描述它，因此也是一个远离平衡的问题。早在五十年代对于高速飞行的研究就遇到了气体的激发化学反应问题，使得力学界对从微观过程去解决这类问题作了不小的努力，如朗道 - 泰勒理论、SSH 理论等等。目前对气动激光非平衡流的一些处理还是以这些理论为基础的，如果考虑到利用流动产生不平衡，这正是堪特罗维兹的皮托管实验所处理过的问题，那么，分子气动激光器的出现与力学工作者联系起来是很自然的。这说明了气体动力学的微观化发展产生的影响是多么深刻。以上对非平衡流的处理还只是一些准平衡的近似方法，还只能说是部分的微观化。

从总的趋势来看，力学中将会遇到更多的远离平衡的问题，其中力学的宏观运动将更多地与各种微观过程相耦合，如内部自由度的跃迁、化学反应速率、反应的基元过程、光辐射等。因此，未来的气体动力学就要能够充分地适应这一发展，与宏观动力学平行地发展微观动力学的描述方法。这就是气体动力学的两种出发点：一是由牛顿体系的连续介质运动方程出发，一是由分子运动论的方程（如玻尔兹曼方程）出发。后者虽在解决恒定分子体系的远离平衡问题上有其独到之处，但对有内部自由度和化学反应影响的情况还需解决建立基本方程的问题。

下面再谈一个关于固体的力学性质问题。固体的弹性、粘弹性、塑性、蠕变、疲劳和断裂等现象都有其微观机制。从微观粒子的运动及其相互作用力求得固体的宏观力学性质，不仅是接近平衡态的统计理论问题，而且也有远离平衡的问题。这个问题的特殊性还在于，固体中存在准微观结构。在晶体中有各种类型的缺陷，如位错、晶界、空穴以及间隙原子和微裂缝等。就位错而言，又有不同的种类。缺陷可以在变形过程中运动、产生和消失，又可以相互作用和“化合”。每一种过程都有其动力学问题。

对固体的每种宏观力学性质，不仅要探求它和这些大量缺陷的统计行为的关系，还要弄清它们的微观机制。对固体问题来说，从微观过渡到宏观，必然要经过准微观这个层次。1936 年泰勒提出位错理论时还只是一个假说，到五十年代末已经观测到位错的存在，并且证明了准微观结构在固体的力学性质中起着决定性的作用。例如，在塑性变形中，它表现出形变与过程有关，即与加载卸载历史有关的性质。对于材料本构关系的宏观描述，只能在一定条件下对某一种具体物质或稍微广一点的一类物质而建立起来。理性力学可提供在普适意义上它们应当满足的关系，例如历史记忆原则的运用等。所谓历史记忆在微观分析中不外乎是变形过程中微观或准微观缺陷的运动、产生和消失。在金属物理学已有成就的基础上，进一步发展大量缺陷集体行为的统计理论以及建立由微观过渡到宏观的理论是物理力学面临的严重任务。

关于物性方面的研究，多数属于应用基础研究，这方面的研究构成了当前物理力学工作的大部分，包括运动规律在内的力学问题的微观理论，则属于基础研究。这是需要长期探索的。

二

物理力学的产生不仅是力学学科发展的必然趋势，也是现代工程技术的迫切需要。自本世纪四十年代以来，由于尖端技术和基础科学的发展，力学面临大量超高温、超高压等特殊条件下的问题。我国著名力学家钱学森于五十年代初首先提出了建立物理力学这个学科，正是把握了力学的这个发展趋势并预见了它今后发展的结果。

在空间飞行器的研究中，首先遇到的问题之一就是在飞行器进入大气层时产生很强的激波，它把空气加热到几千度左右，这种高温空气将使飞行器表面加热而烧毁。为了计算这种加热效应，就要知道高温空气的状态方程、比热、热传导系数、辐射系数以及各种化学反应过程的性质。同时，由于高空气体非常稀薄，激波的厚度也必须加以考虑，因此，高温空气的性质和激波结构的研究就成了十分重要的课题。

液体火箭燃料工作过程的研究需要知道它们在临界点附近的比热、热传导系数等数据，而这些物性在临界点附近的反常性质，使得从实验中获取这些数据十分困难。

各种爆炸过程及其对固体作用的研究，涉及 (10^1) 到 (10^6) 大气压下气体、液体、固体的状态方程、相变以及高速化学反应动力学等问题。

激光的出现也提出了大量物理力学问题，在探寻新的激光体系中遇到的弛豫过程动力学与气体非平衡流动问题；在激光聚变研究中涉及各种聚集态下的物质对强激光的吸收与再辐射问题，强激光照射固体时产生的超高温超高压状态下的各种物性和运动规律问题等。

材料在常温、低温以及高速变形下的强度、聚合物的奇特的力学性能、超硬材料和超流材料的力学性质以及各种材料的分子设计等，都是工程技术中的重大课题。

由上述例子可以看出，它们和材料科学、能源、空间技术、激光技术等重大科技问题有关，对这些研究如只限于宏观的范畴，则会遇到极大的困难，如果同时采用微观的手段，可能会大大促进这些问题的解决，并加深我们对物质运动本质的认识。此外，在一些基础科学中遇到的问题，如天体中的超高温、超高压和超高密度状态、地心的高压高温状态、宇宙辐射等的研究都需要采用微观分析的手段。因此，物理力学在发展基础学科方面也必将发挥它的作用。

三

现代科学技术上的新成就，如微观力学理论上的进展、高速电子计算机的出现以及现代化实验技术的进步，为开展物理力学的研究创造了愈来愈有利的条件。

首先值得指出的是在统计力学理论方面的进展。在四十年代至六十年代初，物理力学对处理气体方面的问题比较成熟，而对液体、固体，理论上则不够成熟，处理起来经验性强些，模型粗糙一些，其原因是在统计力学中，多体问题是不易处理的。近一、二十年来，在液体理论中有了很大的进展，如计算液体平衡性质的蒙特 - 卡罗方法和分子动力学方法可以不采用近似模型而做出位形配分函数的“精确解”，1972 年麦克唐纳等计算得到的等压线的结果与多种液体的实测数据吻合良好。又如 1971 年威尔逊提出用重正化群理论解决临界现象那样的多体问题，并取得了突破性的进展。他解决多体问题的办法，有可能用来解决其它类型的多粒子相互作用问题。还有像普里高津学派于最近十年来发展的耗散结构理论是非平衡系统研究中引人注目的进展。

原子分子物理学从五十年代以来在国际上又重新被重视起来。计算和实验手段的提高大大推动了这门学科的发展，特别是激光的出现，不但它本身带动了原子分子物理的发展，而且反过来它又是实验研究原子分子性质的重要手段。其他如分子束技术、中子衍射技术、光散射技术成了探测分子性质及其相互作用和探测液体、固体微观结构的强有力的手段。

高压技术可以创造上千万大气压以上的动高压条件；高温技术可以产生百万度以上的高温；高倍率电子显微镜可用以观测小到原子尺度的现象；自动加载、自动测量的材料试验技术大大丰富了材料性能的数据。等等。这些都为采用微观与宏观相结合的方法进行研究创造了有利的条件。

总之，无论从必要性或可能性来看，都应该把宏观力学的微观化这个任务提到议事日程上来。事实上，它已经在这样发展了，只是人们应主动去推动这一过程而已。

参考文献

[1] 谈镐生，力学和它的发展，《力学学报》，3 (1978)，242.
[2] 钱学森，《物理力学讲义》，科学出版社 (1962).
[3] 钱学森，《气体动力学诸方程》，科学出版社，北京 (1966).

积极开展理性力学的研究

郭仲衡
（北京大学数学力学系）

郭仲衡. 积极开展理性力学的研究[J]. 力学与实践, 1979, 1(2): 1-7. doi: 10.6052/1000-0879-1979-027

理性力学（rational mechanics）的概念由来已久，早在 1743 年，达朗贝尔（D’Alembert）就提出：

象几何学一样，理性力学必须建立在显然正确的公理上；
力学的进一步发展由数学证明给出。

按这种提法，理性力学的第一部著作就是 1687 年牛顿的《自然哲学的数学原理》。在前人探索的基础上，他总结出运动三定律。从这些简单的公理出发，物体（质点）的运动的全部主要性质便由演绎推导出来。理性力学的另一个先驱是 J. 伯努利（James Bernoulli），他是研究变形体力学的。根据实验，他始终认为线性关系不能作为物性的一般原理。1694 年，他首先建立杆的弯曲理论，当杆为直线时，就得到“elastica”的微分方程。

在后来漫长的历程里，连续体力学的一些基本概念如应力、应变等逐渐建立。1822 年柯西（Cauchy）宣布“应力原理”，它从此就成为连续介质力学的基础。在小变形范围内，弹性理论是柯西完成的。较重要的后继理论工作可以举出芬格（Finger）的有限弹性变形理论（1894 年）和科瑟拉（Cosserat）兄弟的有向物体理论（1907 年）。

在那些时候，理性力学是指按达朗贝尔提法对力学问题进行的一切研究。1902 年，吉布斯（Gibbs）还认为他关于统计力学的书是对理性力学的贡献。阿佩尔（Appell）也把他的包罗广泛的专著名为《理性力学论》（Traité de Mécanique Rationnelle）。

严格的有限弹性变形论方程长而复杂，特别是强烈的非线性，使当时的人们感到在数学上进行一般性的讨论是没有多大希望的。这方面的研究长时间进展不大，甚至几乎被遗忘。“理性力学”一词也随之逐渐在文献上销声匿迹（法国和意大利属例外，那里的大学至今还设有理性力学教研室）。

与此同时，在上世纪末，在瑞利（Rayleigh）的影响下形成了这样的状况，绝大部分力学工作都从事于线性（指几何及物理上的线性化）问题及其数学的研究。线性化几乎成了习惯。这段时间以来，线性理论充分发挥了它解释力学现象的能力，并且使它的数学也发展到相当完善的地步。线性理论解决了大量问题，在力学发展上起了并继续起着重要作用。但对许多情况，线性理论则是完全不对的。例如：油漆工业中油漆为什么总是积聚在搅拌器转轴周围而使搅拌效率不高？怎样计算像车胎那样的橡胶制品？柱体扭转时为什么会伸长？高分子聚合物挤出管口后为什么会胀大？诸如此类科技发展中提出的问题，古典理论无法回答。

力学在本质上是非线性的，着眼点不能局限在线性理论。开展非线性理论的研究，除了克服“线性思维”习惯外，确实有许多困难。特别是物性的非线性，应根据什么原则建立本构关系？

事情发生变化开始于 1945 年赖纳（Reiner）和 1948 年里夫林（Rivlin）的工作。里夫林在任意形式的储能函数下，对于不可压缩弹性体得到了几个简单而重要问题的精确解。把这些解和橡胶的实验作比较得到了橡胶储能函数的形式。用这个结果预报橡胶制品的行为，即使它的伸长为原长的两三倍，精度仍能达到百分之几。只要想到，伸长度为 1% 时小变形理论的误差已甚大，就可以体会到有限变形论获得成功的份量了。这个成功鼓舞了人们的勇气，从而开始了对有限变形弹性论的新攻势。从这里还产生一个新的工程学科“橡胶应用力学”，里夫林的解使“柱体扭转时为什么会伸长即波因庭（Poynting）效应”自然获得解决。

赖纳的文章“剪胀的数学理论”是研究非线性粘性流体的。曾经使物理学家和化学家们伤过不少脑筋的油漆搅拌器效率不高问题（根源在于韦森贝格（Weissenberg）效应）在这个基于纯粹力学的非线性流体理论下顿时真相大白：要想使爬开现象不出现，必须施加一个与转速平方成正比的压力。里夫林曾用这理论计算出粘度计的爬升形状，它和实验符合。赖纳等的研究使 1945 年以前有关流变学基础的全部工作报废。赖纳工作的更深层的意义是，它在建立非线性本构方程方面是走向一般性方法的第一步。在应用凯利 - 哈密尔顿（Cayley - Hamilton）定理后，应力 $\mathbf{T}$ 和应变率 $\mathbf{D}$ 的非线性关系普遍地可表达为
$\mathbf{T} = \alpha \mathbf{I} + \beta \mathbf{D} + \gamma \mathbf{D}^2$
其中 $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ 是 $\mathbf{D}$ 的三个不变量的标量函数。

一般认为，在 1945 年理性力学获得了复兴。复兴并非重复，而是达朗贝尔的提法在变形体力学方面得到了进一步发展。

1900 年希尔伯特（Hilbert）在巴黎的国际数学家代表大会上提出了 23 个问题，企图抓住过去几十年研究工作的趋势及将来创造性工作的概要，其中第六个问题就是重提达朗贝尔思想的重要性，强调物理（特别是力学）公理的数学处理。1909 年哈梅尔（Hamel）又宣传了希尔伯特的意见。这在力学界反应不大，但在物理学界却引起极大重视，最典型的是相对论的发展，极大地促进了科学界的理性研究。

直到 1950 年，奥尔德罗伊德（Oldroyd）指出本构方程必须具有“正确的不变性”——即应描述与参考系无关的性质。他用根据这原则采用随体坐标系建立的粘弹性理论，计算了二旋转圆筒间的流动问题，和旧理论（弗勒利希（Frohlich）和扎克（Sack），1946）比较，法应力相差一符号。旧理论的结果和 Weissenberg 效应相反而宣告无效，这说明“不变性”在建立理论时的重要性；也是连续介质力学建立公理体系的前奏。

积极宣传“理性力学”的特鲁斯德尔（Truesdell）在 1952 年创办了“理性力学与分析杂志”（J. Rat. Mech. Anal.，1957 年改名为 Arch. Rat. Mech. Anal.），并在其中发表了理性力学总结性文献“弹性和流体动力学的力学基础”。在他的工作的影响和提倡下，一批数学和力学工作者投入了这领域的探讨：

1953 年特鲁斯德尔提出低弹性体（hypoelasticity）的概念
$\mathbf{S} = \mathbf{f}(\mathbf{T}, \mathbf{D})$
其中“ $\mathbf{f}$ ”表示本构微商， $\mathbf{S}$ 线性依赖于 $\mathbf{D}$ 。诺尔（Noll）证明，任何弹性体在应力和应变关系可逆的条件下同时是低弹性体，而任何低弹性体在单参数变形或小变形中其行为有如弹性体。格林（A. E. Green）和托马斯（Thomas）（1955 - 56）证明，除了屈服条件，低弹性理论包含了所有塑性流动的一般理论。在 1955 年的工作里，特鲁斯德尔还具体算出低弹性体表现出塑性流动的实例。

1955 年诺尔发表“固态和流动态的连续性”，目的是将麦克斯韦（Maxwell）粘弹性模型推广至三维非线性情形，把固体和流体作为特殊情形包括进去。他明确提出了“空间各向同性原理”（即本构关系与观察者无关，现称“客观性原理”）。应用这原理，原假设为 $\mathbf{T} = \mathbf{S}(\mathbf{Q}, \mathbf{T}, \rho)$ 的本构方程必具有形式
$\mathbf{T} = \mathbf{S}(\mathbf{D}, \mathbf{T}, \rho)$
其中“ $\mathbf{S}$ ”表示物质导数， $\mathbf{Q}$ 是速度梯度， $\mathbf{W}$ 是旋率张量， $\rho$ 是密度。这种模型他称为流固体（hygrosteric）。

1958 年诺尔在“客观性原理”基础上，把以往力学界都不自觉地默认的事实“质点的应力由该质点的任意小邻域的运动历史所决定”，即“质点有记忆自己过去历史的能力”，名之曰“确定性原理”。满足这一般性原理的材料称为“单纯物质体”。此外他还提出“物质同构”的概念，把材料按其所满足的变换群来分类，这个变换群如果是完全正交群，材料就是各向同性的。

1960 年科尔曼（Coleman）和诺尔提出“减退记忆原理”。它反映了质点对近期历史有较强记忆力。人们不是也有“时间长记不太清了”的现象吗！1965 年 C.-C. 王（C.-C. Wang）又将这原理进一步发展。

后来还有“应力松弛，历史延迟”以及微分型、率型、积分型材料等概念。以上都是指单纯物质体而言的。

诺尔在 1965 年给出了连续介质纯力学理论本构公理的形式系统，C.-C. 王在 1973 年的专著中转述为：

确定性；
局部作用；
等存在；
万有耗散；
物质标架无差异；
物质对称性。

单纯物质体理论以诺尔 1972 年提出的新理论达到高潮，他认为当前应力受无穷远历史影响在哲学上是不能接受的，而只是由有限历史所决定。这里他的六个公理更形式化了，由此演绎出单纯物质体的全部性质。1975 年埃杯根（Eringen）的专著归结出八个公理：

因果性公理；
确定性公理；
等存在公理；
客观性公理；
物质不变性公理；
邻域公理；
记忆公理；
相容性公理。

1977 年，西尔哈维（Silhavy）和克拉多赫维尔（Kratochvil）按照诺尔理论的框架，提出十一个公理来刻画一种具有塑性性质的非弹性体。

可以看出，单纯物质体的抽象概括在不断获得进展。结合各种真实体特殊材料的研究相当多，对于单纯物质体的波的传播的研究也有很多有意义的结果。关于存在唯一的研究尚少，可举出斯托佩里（Stoppelli）（1954 - 58）、约翰（John）（1960）和鲍尔（Ball）（1977）的工作。在非线性连续介质理论数值方法方面，以美国奥登（Oden）为代表的一组人进行了庞大的 THEMIS 研究计划（1969 - 74），结果是丰硕的。

在不断深入研究单纯物质体及其公理系统的同时，理性力学在广度上也不断发展。在连续介质理性热动力学、有向物体理论、连续位错理论、非局部理论、混合物理论、电磁介质力学、相对论性连续介质力学等方面的开创性工作由科尔曼 - 诺尔（1959）、埃里克森（Ericksen）- 特鲁斯德尔（1957，1958）、京特（Gunther）（1958）、比尔比（Bilby）、克勒纳（Kroner）（1960）、埃德伦（Edelen）（1971）、埃林根（1972）、图平（Toupin）（1956，1957）等相继发表。下面我们粗看一下理性力学在广度上从哪些角度发展了古典理论：

从小变形理论到有限变形理论
有限变形理论对变形大小没有任何限制。应变和位移的关系由线性形式
$\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( u_{i,j} + u_{j,i} \right)$
转为
$\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( u_{i,j} + u_{j,i} + u_{k,i} u_{k,j} \right)$
并且平衡方程应列在已变形的物体上。
从物性的线性理论到一般本构理论
古典的理想物体是胡克体和牛顿流体及它们的各种线性组合。理性力学对本构关系进行极其一般的研究。现在不仅理想的材料数目大为增加，成为系谱，而且还有同时对整类材料进行描述和分析的有效方法。
从物体的古典模型到微结构理论（有向物体）
古典模型把物体看成有三个自由度的质点的集合。微结构理论开展对物体质点有微结构（microstructure）的研究，即在整体的宏观运动中每个质点还可以作为一个小物体进行微运动（micro motion）。如果只允许作刚性微运动，就有所谓“微极（micropolar）理论”，否则为“微态（micromorphic）理论”。用微结构理论可以建立严格的杆、板、壳理论；可以研究颗粒固体、骨骼、复合材料和液晶的运动。用 N-S 方程计算血液流动与实际不符，因血液中占容积一半的红血球作为一个个细胞在流动中自身还会变形，用微结构理论有可能较好地模拟血液流动。对于在磁场作用下的偶极子，微结构理论显然是必需的，对于涡旋的研究，也开始露出采用微结构模型的苗头。如果与涡旋尺寸变化相比，涡旋的运动是主要矛盾，则可采用较简单的微极模型。对某些简单情形，已有算出结果的，可以看出，微结构理论有可能描述一大批在古典理论范围之外的复杂力学现象，其潜在力量目前尚难估计。
从协调理论到非协调连续统理论
古典理论要满足的协调方程，在有位错或内应力存在的物体已不再满足。对于离散的晶体位错，尚可作出种种切面，使古典理论仍可适用，但对连续位错，就必须引入不协调的概念。这种非协调理论，用微分几何的办法去考察极为方便，且可容许有限变形。如把未变形的形状视作欧氏空间，则变形后的构形一般不再是欧氏空间。古典理论中的步调方程，对于变形后的空间的曲率张量为零。存在位错的空间，甚至已非黎曼空间：是有挠率（torsion）的嘉当（Cartan）空间，该挠率即可描写位错的密度。最近还发展了连续旋错（screw dislocation）理论。有不少尝试，把非协调理论与有向物体理论统一起来，但尚未见到完整的结果。上述的几何学方法，如用到屈服理论上，也提出一些有希望的可能性^]。
从局部理论到非局部理论
连续介质古典（局部）理论有两个假设：1. 全部守恒法则对物体的任何任意小部分成立；2. 物体任意点的状态只受该点的任意小邻域影响（局部作用公理）。前者排除了载荷对物体运动和状态变化的长程（距离）效应，后者忽略质点的长程交互作用。但物体总是由具有某种特征长度（尺寸或距离）的子物体（原子、分子、颗粒等）所构成，外载也具有特征长度或特征时间（如外载具有光波分希的区域的尺寸、波长、频率等）。当内、外特征长度相近时，局部理论的结果失效，这时有必要放弃上述假设，进入所谓“非局部理论”。例如波的弥散现象，根据古典弹性论，波的传播是不弥散的，即相速度与波长无关。但实验表明，当波长较短（特别是当激励的波长和原子距离同数量级）时，弥散显著。对于一维情形非局部理论算得的色散曲线与用点阵原子理论算得的结果非常符合，裂纹尖端的应力集中破坏原子间的连结而导致断裂，用非局部弹性理论可以排除裂纹尖端应力的间断。令箍应力（hoop stress）与内聚应力（cohesive stress）相等就可得到格里菲斯（Griffith）的断裂准则。非局部理论可以解释如表面张力、表面应力、表面粘性等表面现象。分层流体接触面的表面张力可以导致整体失稳和瑞流。非局部理论与古典理论有不同的数学表现，例如非局部线性理论的应力应变关系可写成
$\delta^{ij}(\mathbf{X}) = E^{ijkl}(\mathbf{X}) + \int e^{ijkl}(\mathbf{X}, \mathbf{Z}) \varepsilon_{kl}(\mathbf{Z}) \, dV(\mathbf{Z})$
问题归结为解积分微分方程。总的说来，非局部理论不是微观理论，用的仍是唯象方法，但考虑到由微观性质引起的效应，这就使得有希望在古典的唯象理论与原子、分子理论间架起桥梁，有可能揭示许多过去属于古典场论之外的力学现象。
从单一的物质理论到混合物理论
混合物理论研究多种物质的共同运动。各组分的质点可同时占据空间的同一位置，而在另一时刻，这些质点又可分别占据不同的位置。每组分的质点有自己的速度，混合物在空间各点的平均速度是此时在该空间点的各组分速度的按质量加权平均，各组分在该点的扩散速度等于它的速度减去平均速度。化学反应可以使各组分的质量发生变化，用这种理论可以研究扩散现象，多种流体，多孔介质，化学反应介质等。
从单纯的力学理论到与热、电磁的耦合理论
古典理论一般局限在纯力学范围内研究问题。热的因素在气体力学和热弹性论是考虑进去的。自然界现象是辩证地相互联系的。物体变形产生热，而温度变化又引起变形是众所周知的。压电和压磁效应，电致和磁致伸缩现象也不陌生。当研究日趋深入和细致，耦合现象是不容忽视的。生物力学的研究中，心脏的跳动是伴有电磁现象的。许多透明物体变形时出现双折射现象，古典地解释为介电张量对变形有某种依赖性。这方面的线性理论在麦克斯韦时代已存在，但非线性理论最近十年才开始被研究。旋磁（gyromagnetic）效应也是一种耦合现象。一般都观察到，龙卷风产生前都出现雷暴，这说明大气问题与电磁现象有关。地球内部存在着强大的磁场，震前出现地磁异常说明地震不是一个单纯力学问题。仅这几个例子就足以说明开展电磁介质力学研究的必要性。在这种与电磁场打交道的情况下，对介质热动力学理论极为本质的“客观性公理”（即空间标架的刚性运动下的不变性）必须代之以洛伦兹（Lorentz）不变。重新考察变形体理论与电磁场交互作用的基础，因此最终必然引导到下面的相对论提法。
从牛顿力学到相对论（狭义的和广义的）建立连续介质力学。

上述的每一方面都自成理论，但更经常则是它们间的组合，如非局部微极理论，有限变形连续位错理论等。像单纯物质体理论一样，它们都有建立公理体系的问题，但目前这方面的工作还不多。任何一种变形体力学理论都包含物体、质量、运动及应力等基本概念。采取物体的不同模型，其运动及变形的描述方式就不一样，随之质量、应力等概念也相应发生变化。例如古典的应变只需刻画点与邻点间距离的变化，而在微结构理论里还需刻画点与邻点间微运动之差别。柯西应力原理也需要扩充，应力张量不再是对称的了，质点除了质量还有自旋惯性等等。制约这些基本概念的各个守恒法则也要重新考虑。相对而言，模型一旦确定，这些工作都是可以做到的。重要的是，即使模型和外界作用相同，响应也会因材料而异。这里起决定性作用的是本构关系。每一个本构关系代表一种理想化的材料。如何建立一般的本构关系，是任何一种变形体力学理论的核心而又困难的问题。意大利学者西尼奥里尼（Signorini）说这是“真正数学物理的最困难问题”。一般之所以认为理性力学在 1945 年获得了新生，正是在这个问题上打开了一个突破口。

关于建立本构关系，人们总遵循这样或那样的原则，只是自觉程度不同而已。这些原则就是达朗贝尔所提及的公理，它是认识上升到理性阶段的“自觉性”的表现。不同的模型和材料有不同的公理体系。理性力学力图自觉地建立公理体系去演绎力学理论，但主张用辩证态度对待公理而反对盲目的“公理化倾向”。由材料的“记忆能力”的原始概念发展至“减退记忆原理”及“有限记忆原理”就是一个例证。从正确的公理系统出发，遵循着严格的逻辑推理，就有可能建立站得住脚的理论。在建立公理体系的抽象概括过程中不可避免地要做出简化和理想化，因此所建立的理论必须受实践检验。

在深度和广度上不断地把力学理论向前推进中，理性力学并不代替其他力学分支而专注于具体问题。特鲁斯德尔在 1956 年说：“理性力学的独立目的是去理解力学”。“去理解力学”是什么意思呢？举例说明如下：
1. 流体力学中的赫姆霍兹（Helmholtz）定理（1858）
  定理中出现一个新概念——涡管。赫姆霍兹定理不是通过解边值问题，或是进行数值解，也没有通过实验，而是通过数学证明得出来的。涡管这个概念帮助我们对流体的流动有了深一层的理解。这就是“去理解力学”的一个例子。
2. 线性弹性理论的赖斯纳（Reissner）变分原理
  赖斯纳（1950）把古典的最小总势能原理和最小余能原理作为特殊情形，提出一种以应力和应变同时作为变量的新的“能量”概念。他证明了当这“能量”取极小值时全部方程被满足。这里也包含了新概念和数学证明。
3. 柯西应力原理（1822）
  “物体内部某点法向为 $n$ 的截面的应力向量与截面形状无关”长期以来被公认为显然的，但毕竟只是一种假设。直到 1957 年才由诺尔给出它的数学证明。
4. 圣维南（St. Venant）原理
  这是 1855 年圣维南在解决柱体扭转时提出的。这是一个新概念，虽然一百多年来一直被工程师们信任地反复应用，但对理性力学来说，这仅是事情的开端。因为只有解决“1. 这个新概念确切的数学提法是什么？2. 如何证明？”才算完成理性力学在这个问题上的历史任务。这工作在一百多年后才被斯顿贝格（Sternberg）、图平、诺尔斯（Knowles）和鲁宾迹（Robinson）等分别从不同途径完成。1965 年图平对柱体端部受载情况给出了这原理的数学形式和证明，指出储能按距离是指数型衰减的。后来贝尔迪切夫斯基（Berdichevski）（1974）和伯格龙（Bergund）（1977）将这结果推广到一般形式的弹性和微极弹性体。圣维南原理的实质是空间的距离效应，它已被推广到时间和过程问题上而成为极有力的数学原理。
这些例子都包含有新概念（或含糊的老概念）和数学证明。原始的概念是从实践中来的，经过数学上的提炼和严格证明后，就能帮助人们加深对力学的理解。

近代科学高速发展中引人注目的特点之一是数学的作用日益显著。数学的基本概念日益广泛地被应用于描述物理现象，使得能用合适的语言简洁地表达自然界的普遍法则，发现自然理论的基本数学结构，从而能更深刻地理解现象的本质。马克思说过：“科学仅当它成功地利用数学时才达到完善的程度”，理性力学的近代发展是和数学的新概念、新成果的应用分不开的。当然，用数学不是理性力学的目的，数学是理性力学借以更深刻、更确切地描述自然、了解自然和征服自然的必备工具。

至此，我们可以对近代理性力学作一概括的描述：

近代理性力学是变形体力学的理论基础。它是一个横贯性的力学学科，侧重于用数学的基本概念和严格的逻辑推理研究力学的带有共性的基础问题。它一方面对各传统变形体力学模型和理论用统一的观点进行综合性的、更深一层的基本规律的探索，使之更严密，更系统；另一方面根据科技发展的需要，对积累起来的现实物体的经验资料或理论资料进行整理加工，抽象概括，建立和发展新的力学模型和理论以及解决问题的解析或数值方法，并力图用存在唯一性定理检验理论在数学上的恰当性。在建立理论时，理性力学特别注意自然现象间的辩证联系，理性力学强调概念的确切性和数学证明，力图建立公理体系去演绎力学理论。目前相当大的注意力集中在一般的本构关系的研究上。

目前，国际上科学发达的主要国家都在进行理性力学的研究，《物理大全》一而再，再而三地聘请权威人士编写了这方面的专著。从 1971 年起，《应用力学评论》也开辟了“理性力学和数学方法”专栏，并且列为第一栏。理性力学作为力学的一个重要方面站稳了脚跟。为了在日本普及，《机械研究》在 1976 - 77 年间连续 18 期刊载了介绍性讲座“理性连续体力学入门”。

理性力学现仍处在发展阶段，除了进一步深入研究外，它还要准备随时迎接建立新模型和新理论的任务。为了力学学科的现代化，需要积极开展力学的理性研究！

参考文献

理性力学的参考文献是浩瀚的，大部分工作发表在 J. Rat. Mech. Anal.，Arch. Rat. Mech. Anal. 和 Int. J. Engng Sci. 等刊物中。下面列举若干代表性著作（都有详尽文献索引以供参考）：
[1] Truesdell, C., The mechanical foundations of elasticity and fluid dynamics, J. Rat. Mech. Anal., 1 (1952), 125-300.
[2] Noll, W., The foundations of classical mechanics in the light of recent advances in continuum mechanics in “The Axiomatic Method, with Special Reference to Geometry and Physics” (Symposium at Berkeley, 1967), North-Holland (1959).

从物理力学起落看钱学森学术思想

文章来源：科学时报
记者王卉张巧玲潘希
发布时间：2009-11-12

“钱先生虽然走了，但他是高瞻远瞩、预见性很强的人，在学术方面考虑的问题很多。为此，除了纪念他为解决当时国家所急需的工程技术任务等作出的贡献之外，我们也要讨论和反思，在他的身上，还有哪些是今天可以借鉴，而且今后很长时期对我国经济和国防建设还能作出贡献的思想和理念。”

正是出于这一目的，日前，作为“两弹一星”元勋郭永怀先生的夫人，年届 90 岁仍然精神矍铄的李佩协助《科学时报》记者，组织了一场关于钱学森先生学术思想的座谈会。

“‘科学巨匠’的提法好，而不只是沿用现在通常所说的‘航空航天之父’。”指着当天《中国青年报》关于钱学森先生的一篇报道，李佩对《科学时报》记者表示。

钱学森很有预见性

郑哲敏院士是钱学森当年在美国加州理工学院带的博士生。

郑哲敏记得，1958 年，“三峡试验坝”要上马时，中国科学院组织成立了三峡科研领导小组，组长是中科院副院长张劲夫，钱学森是这个小组的成员之一。三峡的发电能力高达 100 多万千瓦，这在当时世界是没有的，是个巨大的水利枢纽。那时，世界水轮机组的水平大概最多不超过 20 万千瓦量级。

钱学森当时就提出，我们的目标应该是发展百万千瓦量级水轮机组。当时有些工业界的人士，包括水利界人士，都认为很不可思议。钱学森却认为有这个可能，他还画图说明。那时，力学所还建立了水轮机流体力学研究组，郑哲敏也参加了这个研究组的工作。“当时我们还不敢替工业部门做这个工作，我们当时水轮机组能力只有 50 万千瓦。不过，现在实现了 70 万千瓦，与钱先生 1958 年说的 100 万千瓦已没有本质差别。这可以看出钱先生有很强的预见性。”郑哲敏说。

郑哲敏表示，大水轮机组的特点是机组少、效率高，同样的流量，太小的机组，摩擦力会很大，效率会降低。所以，这对我国整个重型机械的制造、高精密装备的制造都有很大的带动作用。比如大型水轮机组需要很好的技术、很好的冷却方案，等等。

1978 年，钱学森在和力学所研究员崔季平、陈致英谈到物理力学规划时，曾谈到生命科学在 21 世纪可能获得突破性进展，中国人有可能在生命科学这个领域获得诺贝尔奖。当时，得到钱学森重视的，还有计算机的发展。

“他的脑子很活，想得很深远。关注领域很宽，很多人都佩服他。”陈致英说。

为什么要研究物理力学

郑哲敏介绍，在美国时，钱学森正是因为有一系列参与火箭方面工作的知识、经验储备，所以参与了美国国家级相关规划的工作。其中陆军航空部门阿诺德上将让冯·卡门和钱学森等组织一个考察组去德国考察，回美国后他们写出了 11 卷的规划书《迈向新高度》，被认为对战后美国空军的发展具有指导意义。这套书钱先生撰写了五卷，其中包括火箭、喷气推进、冲压式发动机等等，火箭、超声速箭形翼导弹以及核动力飞行的可能性等内容。

郑哲敏曾上过钱先生控制论和物理力学的课，他回忆了当时钱学森对开展力学研究的一些思考。钱学森认为，传统的物理研究大都做实验，但在高温高压的情况下，那些物理化学过程没办法做实验，也没办法观察，所以应从基本的物理知识，如量子力学、统计力学、光谱学等开始研究。

郑哲敏表示，钱先生有很多创新性的想法，比如他认为物理力学不仅是物理界的问题。全世界科学技术发展到现在，都要以基本的数学和物理为基础，而且各类学科都需要；包括高新技术，都要以基本的物理化学理论为基础。

《科学时报》记者是在随同力学所研究人员前往钱学森家吊唁时，采访到陈致英的。陈致英就是作物理力学研究的，曾经是高压气体组的组长。

陈致英在 1956 年考上钱学森的研究生。当时钱学森招了六七个专业、十多个学生，那时一般老师只带一两个学生。1956 年建立力学学科时，国家提出向科学进军，钱学森想把力学做上去，其中就包括物理力学、化学流体力学等。那么多专业，他不可能都亲自带，陈致英后来实际是在时任力学所副所长郭永怀的指导下作物理力学研究的。当时物理力学分了四个方向：高温气体、高压气体、高压固体，以及临界态和超临界态。基本都是要解决火箭、两弹中的问题。

陈致英表示，这些都是钱学森从学科角度提出的，但也有工程目的和工程背景，他的学术思想超前很多。

“两弹和火箭研究，不只有军事用途，也是开发星际空间必走的一步，否则我们不可能到外星上去。”陈致英说。陈致英表示，物理力学概念是钱学森提出来的，现在很多力学分支，自觉不自觉地在使用这个概念，但不等于有这个学科发展的推动力。现在看来好像遍地开花，但没有科学组织的推动，没有这个学科的设置，就缺乏发展的动力。如果物理力学能坚持下来，有科学组织的推动，这个学科的成就会大一些。

钱学森很重视基础研究，有很深远的工程目的，这种思想方法叫工程科学或技术科学。工程科学不是纯理论的，也不是仅搞工程技术，当时提出的物理力学的四个主题都是希望应用基本的物理原理解决技术中复杂而困难的问题。

比如超临界态是物理力学的一个方面，是燃烧过程中的一个状态，钱学森这样的大师在 1961 年就考虑要发展这个研究方向了。20 世纪 70 年代，美国在这方面的研究成果获得了诺贝尔物理学奖，然而此时中国一些相关研究人员正“上山砍柴”、 “与工农结合”，物理力学的工作被迫停止。

推动物理力学的发展

中国科学院力学所研究员崔季平是第一批跟钱学森学习物理力学的弟子，后来又在力学所负责物理力学研究室。

崔季平表示，钱学森回国后不久，被周总理委托领导制定十二年科学发展远景规划，规划的最后一项是若干边缘学科的建立，其中就有物理力学，这是钱先生的意见。“制定到科学发展规划中，是比较严肃的事，也表现了他言必信、行必果的风格。”崔季平说。

原中科院科海公司副总裁刘剑峰说，1958 年，中国科大化学物理系设立了物理力学专业，该系的主任就是钱学森要好的朋友郭永怀。这个系的学生在物理、化学、数学等方面的基础比较扎实，有三届毕业生被分配到力学所，组成了物理力学研究室，钱学森几乎每周都要到研究室参加研究讨论。“他告诉我们，现在人类对微观世界了解比较深，可以通过微观机理解决特殊条件下的宏观问题。”刘剑峰说。

1961 年，中国科大物理力学专业三年级学生该上专业课了，郭永怀派崔季平去，但崔季平发现此时相关研究支持还不够，于是很着急。钱学森说：“你们不用害怕，有我呢，讲义早就准备好了。”

钱学森还把以前的研究人员召集起来，组成小组，包括专业课、辅导课在内的课程都作了精心准备。“在科大开设火箭技术概论、物理力学等专业课程，体现了钱学森领导科学事业的一种胸怀，体现了钱老的胆识和魄力。让我折服，跟着他做事很放心。”崔季平说。

崔季平表示，对物理力学的再认识，是研读 20 世纪 90 年代郑哲敏从美国带回来的那批钱学森的手稿。李佩认为，应该将这批手稿整理成中文，有些事有重新认识的必要。

崔季平表示，从物理化学家们的工作到工程技术，其间应该有工程科学起作用；跨不出这一步，在工程中就没办法用。这是钱先生对有人诟病他物理力学是物理化学的一种反击。“通过这样的处理，把微观的化学家处理的问题，发展到工程应用中去，这个过程就是力学的范畴。”崔季平说。

中国科大原教务处处长任之恕说，中国科大在 1958 年刚开始的课程上，很多名家来上课，这和钱先生说要打好基础的意见是分不开的。1961 年 9 月，钱学森给中国科大学生讲授《火箭技术导论》，许多北大、清华、北航等院校的老师以及力学所、自动化所、物理所、电子所的一批专业人员 400 多人来听课。教材是他自己写的，蝇头小楷，非常规整、秀气。钱学森先生是科大的首倡者和创办人之一，他的理工结合的教学思想也影响了整个科大。

基础科研发展受制于外部因素

崔季平表示，物理力学的发展实际上经历了“三上三下”。

1956 年开始招物理力学相关学生，1958 年“大跃进”，学科取消了；1961 年调整及巩固充实提高，又开始在中国科技大学开设这一专业，招收了三届学生，当时共招收了 50 多个学生，后来又撤销，以后科大再没有招收物理力学专业的学生；1979 年再次恢复，但 1993 年又取消。

刘剑峰表示，钱学森很早就重视物理力学，看到了力学的发展方向，但可惜，几十年过去了，我们在物理力学研究方面没有得到应有的发展。

崔季平表示，随着年龄的增长，碰到的事情多了，回过头来想，钱先生物理力学的思想确实是超前的，想在更为基础性的微观基础上来推进工程技术的发展。

钱学森有更大的雄心，他当时对郭永怀说，要对飞行器周围极高温度下各种物理化学问题，包括高温气体等都要进行研究。

崔季平表示，在急功近利的氛围下，对基础学科的建设没有力行，一些想法没有得到支持。唯一剩下的一个小分支，就是高温气体，因为郭永怀先生在最初保护了一下而得以幸存。

“一个最大的失败，是学科建设上我们没有往前推进。最近读了钱先生手稿，更加有感触。最后物理力学面临解体时，我给钱先生写了封信，他说你要顶住。当然最终还是面对被取消的命运。”崔季平说。

李佩表示：“国内科研有时与政治、社会氛围有关，如果当时能坚持走下去，可能现在的情况会大不一样。在急功近利的氛围下，基础科学在一些时候无法得到应有的发展，有些甚至消亡。爆炸力学、物理力学、等离子体力学在 1993 年被取消了，这是非常短见的事情。作科学研究不能以能不能拿到钱为主要目标。”

中科院力学所研究员谈庆明认为，钱学森的宏观与微观相结合、学科之间要交叉的这两个思想，正反映在被取消的这三个交叉学科中。

谈庆明表示，物理力学是钱先生最心爱的学科，也是他花费了最多精力的一块。可惜最后因为研究所有自己养活自己的压力，终于彻底解散了物理力学研究室。后来研究队伍也一定程度上受到影响。各类工作的人才都需要老中青相结合，才能传帮带，但实际上很多好想法都实现不了。

谈庆明表示，钱先生是考虑用最少的人力、精力，能够干更多事情，他开始研究的是火车头，后来一步步转向飞机、导弹，然后是工程控制论、运筹学、管理科学直到系统科学，追求的就是低耗而高效。

谈庆明说：“钱先生给中央提了怎么发展高科技的问题。但从科学研究到技术开发再到产品生产，是一个链条，中间环节均由政府政策控制，我们科学家就管第一步，产品是规律，是软件，不制造产品，不搞硬件，不能依靠中科院自己开公司养活自己、支持科研。”

人才培养要讲“理工文艺”四合一

谈庆明表示，钱学森最忧心忡忡的事情之一，是中国的科学怎么发展上去，关键是人才培养问题，对此他与温家宝总理谈过好几次。其中，钱学森就提到过，不仅要理工合一，而且要“理工文艺”四合一。

1958 年春天，钱学森提出建立一个“星际航行学院”，以培养自己的后备人才，并上报中科院。时任中科院院长郭沫若召开院务会议商讨此事，引起与会人员共鸣，一致认为“太需要”了，而且不只是力学所，整个中科院都急需这样一个人才培养基地，应该建一个集综合性、前沿性、尖端性于一身的“理实交融”的大学，中国科大就此横空出世。

“中国科学技术大学是真正由我国自己创办的一所理工结合的大学。”李佩说。当时郭沫若担任第一任校长。筹备科大，一共只给了三个月的时间。刚刚成立时，连教室都没有，只好借用北京玉泉路政治学院二部给新生当教室和校舍。

之前，就读于北京大学的谈庆明，在 1952 年入学时正赶上院系调整。谈庆明说：“把全国的大学砍胳膊砍腿儿，北京大学只剩下文、理，清华大学只剩工科。”钱学森认为不行，应理工合一。后来他的思想进一步发展，认为应“理工文艺”四合一，逻辑思维、形象思维要结合在一起。他自己就感觉音乐与数学、物理有内在关联。

谈庆明说：“钱先生后来做保密工作，被保护起来，我们没办法跟他接触交流。”

谈庆明表示，关键问题是人才问题，讨论要自由，问题越辩越明，这个作风也是冯·卡门组织钱学森他们参加科学讨论会的一种作风。

当时钱学森工资比较高，一个月 300 多元，他拿出钱来，让把北京市最好的糕点买来，然后开每周一次的讨论会，他请全国第一流的专家来作报告，包括工业领域的专家。

“这个讨论会上，专门挑问题，越讨论越明，社会需求怎么样，工业需求怎么样，我们科学是不是到了可以解决这个问题的地步。”谈庆明说，“这个会没有大没有小，谁都可以发言。”

谁来负责用高科技改造我们的工业？

谈庆明在北大时的导师是帮钱学森建力学所时的助手。钱学森给他的任务是建一个新学科—— 化学流体力学，是将流体力学与化学反应机制相结合。目的是要改造整个化工和冶金专业。钱学森主张，我们要同化工和冶金部门一起来研究，后来由于“整风”、 “反右”、“大跃进”等的影响，没有做成。

去年经济危机后，温家宝总理提出要转型，从劳动密集型转到高科技型，要促进内销，扩大内需。“这怎么来实现？基础投资在哪里？为发展高技术服务的工程科学要不要研究？每到年底，科学界以发了多少篇文章、弄了多少钱来作为绩效和考核，这怎么行？”谈庆明说。

郑哲敏此前也多次强调，现在科研资金是多一些了，但有些研究人员和学生，就在计算机上算一算，发发文章。文章数量很多，但很多发表的文章既没有学术价值，也没有技术价值。

“现在各省市都在搞风力发电项目，但是在用老技术做，是亏本的，因为成本太高，钱哗哗花下去，谁收场？谁问责？应该重视研究用新的技术和科学解决能源问题。”谈庆明追问，“谁能负责把钱先生更高的思想落实下去改造我们的工业呢？”

谈庆明介绍，钱先生提到的“二战”中发展起来的雷达、原子弹，都是从国家层面组织顶尖的人来做的，是国家级工程科学的例子。钱学森后来进一步主张国家的规划要把最好的科学家和工程师、经济管理专家组织起来，组成一个专家委员会，成为总体设计部，利用大的计算机和各种各样的模型来预估和推演，以求取得最优的解决方法。

谈庆明后来在与郑哲敏一起整理钱学森手稿时，有些问题想得更清楚了。“从火车头到飞机，到火箭，到导弹，他的思想完全是统一的，发动机和化学反应器与冶金炉本质上是一回事，完全可以连续作业和自动控制，也慢慢明白了那时钱学森先生为什么提出我们要改造整个化学工业、冶金工业。”谈庆明说。

“钱先生站得高，看得远，这样的想法他太多了，但我们没有去实现。但愿我们在追思钱先生未完成的宏伟遗愿之后，多做些让他在天之灵能够欣慰的实事吧！”谈庆明说。

关于分析力学的三本名著

梅凤翔¹)
(北京理工大学力学系，北京 100081)

摘要：介绍 20 世纪初分析力学的 3 本名著：Appell 的、Suslov 的和 Whittaker 的。

关键词：分析力学，名著，点评

中图分类号：O31 文献标识码：A

doi：10.6052/1000-0879-13-218

1 Appell 的理论力学

1.1 概况

Appell P（1855 - 1930），汉译阿佩尔，法国数学家，力学家。他的著作《Traité de Mécanique Rationnelle》（《理性力学》），共 5 卷，1893 年出第 1 版，1902 年出第 2 版，1909 年出第 3 版，被誉为 19 世纪末最著名的教材之一。1911 年前 3 卷被译成俄文，1960 年将前 2 卷 1953 年第 6 版译成俄文。

1.2 内容

Appell 书的前 2 卷共 27 章 532 页。
第 1 卷：静力学、点的动力学，计 16 章，包括：

矢量理论
运动学
力学基本定律、质量与力
功、力函数
点的平衡、系统的平衡
刚体的平衡
可变系统
可能速度原理
摩擦概念
一般知识、直线运动、炮弹运动
中心力、行星的椭圆运动
点沿固定曲线和动曲线的运动
点沿固定曲面和动曲面的运动
自由质点的 Lagrange 方程
d’Alembert 原理、最小作用量原理
正则方程、Jacobi。

第 2 卷：系统动力学、分析力学，计 11 章，包括：

惯性矩
系统运动普遍定理、7 个万有运动方程
刚体运动（平面平行运动、定点运动、自由刚体）
相对运动
d’Alembert 原理
分析动力学普遍方程
正则方程、Jacobi 定理、Poisson 定理
Hamilton 原理、最小作用量原理、最小拘束原理
打击
机器概念。

1.3 精彩章节

第 464 节：直接应用 Lagrange 方程于最小参数数目的不可能性。
第 465 节：既适合完整系统，又适合非完整系统的运动方程的普遍形式。
第 469 节：仅用一个函数 $T$ 表征非完整系。
第 470 节。

1.4 点评

文献以“关于 Appell 的理论力学”为题，从理论力学教材的角度做了一些讨论。实际上，有 8 章涉及分析力学内容，包括 d’Alembert 原理、Lagrange 方程、正则方程、Hamilton 原理、Jacobi 定理、最小作用量原理、最小拘束原理、分析动力学普遍方程。
书中将 d’Alembert 原理与 d’Alembert - Lagrange 原理（即动力学普遍方程）统称为 d’Alembert。
Appell 书中最重要的贡献，就是“分析动力学普遍方程”，即 Appell 方程，它既适合完整系统，又适合非完整系统。
书中介绍了伺服约束，这类约束是主动约束，非 Chetaev。
Appell 书在虚位移原理的充分性证明中，利用了实位移是虚位移之一的条件，因此，证明仅适合双面理想定常完整系统，或双面理想非完整齐次约束。
Appell 书中的虚位移原理和动力学普遍方程的前提条件是“无摩擦约束”，在俄译本中改为理想约束。

2 Suslov 的理论力学

2.1 概况

Suslov G K（1857 - 1932），汉译苏斯洛夫，俄罗斯力学家。1880 年与 Lyapunov A.M.（1857 - 1918）同时毕业于彼得堡大学。在莫斯科大学完成博士学位论文《允许有给定积分的力函数》，一生发表近 50 篇原创性论文，大部分涉及点和刚体的经典动力学问题。Suslov 重视力学的基本概念和方法论，表述在他的分析力学教程和一系列论文中。1900 年出版两卷《分析力学基础》，1946 年改名为《理论力学》，由 Buhgolc 和 Golbcman 校订，指出改名从近代术语观点看更能反映书的内容。

2.2 内容

Suslov 的《理论力学》，共 4 部分，57 章，315 节。
第 1 部分为矢量代数和分析基础，共 4 章。
第 2 部分为运动学，共 9 章。
第 3 部分为质点动力学，共 11 章。
第 4 部分为质点系动力学，共 33 章，包括：

质量集合（2 章）
系统动力学基本原理、运动方程、动力学定律（7 章），其中有虚位移、可能位移、第 1 类 Lagrange 方程、第 2 类 Lagrange 方程、Hamilton 方程
力学普遍原理（2 章）：微分原理和积分原理
静力学（4 章），其中有虚位移原理、平衡稳定性
动力学方程的积分（5 章）
Jacobi 最终乘子、Jacobi - Poisson 定理
独立坐标中的 Hamilton 主函数、特征函数
对非自由运动与条件方程相关的坐标中的主函数和特征函数
特征函数的某些应用
刚体动力学（10 章）：自由刚体的运动方程、非自由刚体的运动方程、刚体定点运动（Euler 情形、正和逆 Poinsot 运动、Lagrange 情形、Kovalevskaya 情形）、遵从有限约束的非自由刚体运动的例子、遵从不可积微分约束的非自由刚体运动的例子、Bobylev - Steklov 情形、属于具有固有运动的轴的刚体运动方程
打击理论（3 章）：质点的打击理论、质点系的打击理论、刚体的打击理论。

Suslov 这本书长达 655 页，其中属于分析力学的包括第 1 类 Lagrange 方程、第 2 类 Lagrange 方程、Hamilton 方程、微分原理、积分原理、虚位移原理、Jacobi 最终乘子、Jacobi - Poisson 定理、Hamilton 主函数、受有约束的刚体运动等。

2.3 精彩章节

第 87 节：牛顿第三定律，写到：“牛顿第一定律指出物体上是否施力，第二定律指出力的模和方向，第三定律说到物体相互作用的重要性质，因此说到力的根源。……按牛顿的表述，取物质或质量作为基本概念，借助时间和空间的概念，那么力就是导出概念。反之，取力作为基本概念，此时质量概念可借助一些条件来导出”。
第 201 节：Hamilton 形式的稳定作用量原理，指出该原理不适合具有不可积微分约束的系统。
第 207 节：虚位移原理，给出形式
$\sum_{v=1}^{n} \mathbf{F}_{v} \cdot \delta \mathbf{r}_{v} \leqslant 0.$
第 208 节：虚位移原理对确定系统平衡位置的应用，给出质点系同时受到有限约束和微分约束的带乘子的方程。
第 264 节：非自由刚体一般情形的运动方程，给出刚体同时受到有限约束和微分约束的带乘子的方程。
第 300 节：属于具有固有运动轴的刚体运动方程。

2.4 点评

作为 Lyapunov 的同学，Suslov 更偏重教学，他对牛顿第三定律的理解与众不同。
给出的虚位移原理的形式，既适合双面约束又适合单面约束系统，是虚位移原理的全面准确表达。
Suslov 认为对非完整系统 Hamilton 原理不是稳定作用量原理。原理中 $\delta$ 运算不能交换的结果被 Novoselov 称为非完整系统 Hamilton 原理的 Suslov 形式。
给出同时受有完整约束和非完整约束的平衡方程以及刚体运动微分方程。这样处理比分别研究完整约束和非完整约束系统更具普遍性。
第 300 节实际是动轴理论，它可应用于建立非完整系统的微分方程，方程中会出现约束力。
Suslov 博士学位论文的结果被称为动力学逆问题中的经典 Suslov 问题。
Suslov 关于虚位移原理充分性的证明不够充分。他将动能定理写成形式
$\delta T = \sum_{v=1}^{n} \mathbf{F}_{v} \cdot \delta \mathbf{r}_{v} + \sum_{v=1}^{n} \mathbf{R}_{v} \cdot \delta \mathbf{r}_{v}$
由理想约束性质
$\sum_{v=1}^{n} \mathbf{R}_{v} \cdot \delta \mathbf{r}_{v} \geqslant 0$
而得到
$\sum_{v=1}^{n} \mathbf{F}_{v} \cdot \delta \mathbf{r}_{v} \leqslant 0$
实际上，动能定理给出的是
$\mathrm{d}T = \sum_{v=1}^{n} \mathbf{F}_{v} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r}_{v} + \sum_{v=1}^{n} \mathbf{R}_{v} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r}_{v}$
仅当实位移是虚位移之一时，才能将 $\mathrm{d}$ 写成 $\delta$ 。因此，这种证明仅适合理想完整定常系统或理想非完整齐次约束系统。

3 Whittaker 的分析动力学

3.1 概况

Whittaker E.T.（1873 - 1956），汉译惠特克，英国数学家，力学家。他的著作 A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, with an Introduction to the Problem of Three Bodies 由剑桥大学出版社出版，1904 年出第 1 版，1917 年出第 2 版，1927 年出第 3 版，1937 年出第 4 版，1937 年出俄译本，名为《分析动力学》，1944 年美国第 1 次印刷。

3.2 内容

Whittaker 的书共 16 章，205 节，456 页，包括：

运动学预备
运动方程
积分可用原理
质点动力学可解问题
刚体动力学说明
刚体动力学可解问题
振动理论
非完整系统、耗散系统
最小作用量原理和最小曲率原理
Hamilton 系统及其积分不变量
动力学的变换理论
动力学系统的积分性质
三体问题的降阶
Bruns 和 Poincaré 定理
轨道的一般理论
用级数积分。

3.3 精彩章节

第 29 节：受绕轴匀速转动约束系统的运动，给出一类相对运动力学方程。
第 30 节：准坐标下的 Lagrange 方程，介绍了 Boltzmann 和 Hamel 的工作。
第 31 节：给出广义势函数的例子。
第 32 节：初始运动。
第 42 节：利用能量积分将一动力学系统降阶为较少自由度问题。
第 151 节：已知一个积分确定作用在系统上的力。

3.4 点评

朱照宣先生曾说过，Whittaker 这本书把 1904 年以前有关经典动力学的成果做了很好的总结。朱先生的话很中肯。
Whittaker 的书被许多书刊列为主要参考文献。
全书材料准确，大多给出出处，习题典型、难度较大，排版很少有错。
受匀速转动约束问题被 Lur’e 推广到一般情形。
广义势函数引出的 Helmholtz 条件，即自伴随条件，在 Lagrange 力学逆问题中被广泛采用。
利用能量积分降阶结果得到的方程，被称为 Whittaker 方程。多年前，作者审过一篇稿件，国内一位年轻作者未看过这本书，独自导出了这个方程，当然不能发表了。Whittaker 方程可推广到一类非完整系统。
已知一个积分确定作用在系统上的力，被称为 Bertrand 定理，被推广应用于非完整系统。
此外，20 世纪 30 年代，Whittaker 给出不能 Lagrange 化的例子，也被称为 Whittaker 方程，有形式
$\ddot{q}_{1} = q_{1}, \quad \ddot{q}_{2} = \dot{q}_{1}$
Whittaker 方程在分析力学的发展过程中有重要作用。
第 90 节研究了非完整系统在小的意义下的稳定性问题，认为待定乘子是小量，因此，非完整约束方程中的系数取为常数，而约束方程可积分，这样就把非完整系统平衡稳定性问题变成了相应完整系统问题。这样是不对的。
第 97 节碰撞之例中将 Coulomb 摩擦定律作为联系法向和切向冲量间的物理条件。1984 年 Kane 举例指出，这个条件有时不成立。文献给出两种修正方案。

4 结论

介绍的 3 本书是 20 世纪初关于理论力学和分析力学的名著，其中 Appell 的和 Suslov 的风格相近，而 Whittaker 的是另一种风格。作者在学习这 3 本书中，受益匪浅，启发良多。

参考文献

Appell P. Traité de Mécanique Rationnelle, T1, TII. Sixième Éd. Paris: Gauthier-Villars, 1953.
梅凤翔. 关于 Appell 的理论力学. 力学与实践, 2010, 32(3): 111-112.
Moiseev N.D. Ocherki Razviti Mekhaniki. Moskva: Izd. Mosk. Univ, 1961.
Suslov G.K. Teoreticheskaia Mekhanika. Moskva: Gostehizdat, 1946.
Novoselov V.S. Veschaetnie Metody v Mekhanike. Leningrad: LGU, 1966.
梅凤翔，刘端，罗勇. 高等分析力学. 北京：北京理工大学出版社，1991.
梅凤翔. 非完整系统力学基础. 北京：北京工业学院出版社，1985.
Galiullin A.S. Metody Resheni Obratnykh Zadach Dinamiki. Moskva: Nauka, 1986.
梅凤翔. 动力学逆问题. 北京：国防工业出版社，2009.
Whittaker E.T. A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, with an Introduction to the Problem of Three Bodies. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1904.
Lur’e A.I. Analiticheskaia Mekhanika. Moskva: GIFML, 1961.
Santilli R.M. Foundations of Theoretical Mechanics I. New York: Springer-Verlag, 1978.
梅凤翔. 关于 Whittaker 方程和 Hojman-Urrutia 方程. 力学与实践, 2012, 34(3): 62-63.
Savin G.N., Put’ta T.V., Fradlin B.N. Ocherki Razviti Nekotoryh Fundamental’nykh Problem Mekhaniki. Kiev: Naukova Duhka, 1964.
刘延柱. 关于摩擦碰撞的 Kane 难题. 力学与实践, 2012, 34(1): 91-94.