3、力学中的物理现象与MATLAB模拟

力学中的物理现象与MATLAB模拟

在科学领域，新发现往往始于那些令人感到“有趣”的现象。本文将深入探讨力学中的多个主题，包括谐振子、耦合摆、单摆的非线性运动、势散射以及“自由地铁”等问题，并结合MATLAB代码进行模拟和分析。

1. 谐振子：自由、阻尼与受迫

力学主要关注引力以及无耗散系统的守恒定律，在这样的系统中，能量和动量是守恒的。两个质量之间的力可以从势能推导得出，公式为 (F_{12} = \frac{GM_1M_2}{r_{12}})，势能 (V_{12} = F_{12}r_{12})。对于粒子系统，存在着守恒的能量（势能加动能 (T = \frac{mv^2}{2})）和守恒的动量 (\vec{p} = m\vec{v})。

1.1 无驱动的阻尼谐振子

从传统的简谐振荡器（SHO）开始，考虑有阻尼但无驱动力的情况。在无阻尼情况下，通过量纲分析可知 (\frac{k}{m}) 具有时间平方的倒数的量纲，无阻尼频率为 (\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}})。运动方程为：
[
\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{kx}{m} + \frac{b}{m}\frac{dx}{dt}
]
可以使用MATLAB的“dsolve”工具符号求解该方程。有阻尼时，解可能是欠阻尼或过阻尼的。响应频率为 (\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - (\frac{b}{2m})^2})，在欠阻尼和过阻尼情况下分别导致振荡或指数解。可以通过播放“动画”来观察 (x) 的运动，随着阻尼项的增加，解从阻尼振荡演变为单调衰减。

以下是MATLAB代码示例：