泰勒展开式 | 推导 / 应用

注：本文为 “泰勒展开式” 相关合辑。
略作重排，未全校去重。
如有内容异常，请看原文。

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浅显易懂——泰勒展开式

SoHardToNamed 于 2018-06-02 21:44:32 发布

首次接触泰勒展开式时，往往会感到困惑。泰勒公式的形式如下：
$$f(x)=\sum _{i=0}^n\frac{f^{(i)}\left(x_0\right)}{i!}{\left(x-x_0\right)}^i$$

若要深入理解该公式，需还原其推导过程，首要问题是：泰勒为何要提出这一公式？

在泰勒所处的时代，数学界对简单函数的研究与应用已趋于成熟，但对于复杂函数（如 $f(x)=\sin (x^2)\cdot \ln (1+x{)}^{\frac{1}{2}}$）及无明确表达式的曲线，仅能通过代入自变量 $x$ 求得函数值 $y$，难以进行进一步分析。因此，泰勒致力于将这类复杂函数转化为简单形式，以便研究与应用。

泰勒的推导思路

要简化复杂函数，可尝试将其转化为其他易于分析的表达式。以 $f(x)=\sin (x^2)\cdot \ln (1+x)$ 为例，直接分析整体难以突破，故从局部入手：

1. 单点分析：取函数在点 $x_0$ 处的函数值，可得 $f(x_0)=y_0$，此时尚未显现明显规律。
2. 邻域分析：扩大研究范围，考虑 $x_0$ 的邻域 $(x_0-\Delta x,x_0+\Delta x)$（其中 $\Delta x\to 0$）。根据微分近似，函数在该邻域内可表示为：
   $$f(x)=y_0+k(x-x_0)$$
   其中 $\Delta x=x-x_0$，$k=f^{\prime }(x_0)$（即函数在 $x_0$ 处的一阶导数）。

将 $y_0=f(x_0)(x-x_0{)}^0$（因 $(x-x_0{)}^0=1$）代入上式，可改写为：

$$f(x)=f^{(0)}(x_0)(x-x_0{)}^0+f^{(1)}(x_0)(x-x_0{)}^1$$

（注：$f^{(0)}(x_0)$ 表示函数在 $x_0$ 处的零阶导数，即函数值本身；$f^{(1)}(x_0)$ 表示一阶导数）

基于此，泰勒提出猜想：函数是否可扩展为更高阶的多项式形式？即：

$$\begin{array}{rl}f(x)& =\sum _{i=0}^n{f}^{(i)}(x_0){(x-x_0)}^i\\ & =f^{(0)}(x_0){(x-x_0)}^0+f^{(1)}(x_0){(x-x_0)}^1+f^{(2)}(x_0){(x-x_0)}^2+\cdots \end{array}$$

猜想验证与修正

为验证上述猜想，对多项式逐项求导分析：

1. 单项导数规律

先对函数求一阶导数进行验证：当 $x\to x_0$ 时，$f^{\prime }(x)=f^{\prime }(x_0)$，此式成立。

继续对函数求二阶导数推测验证，当 $x\to x_0$ 时，$f^{\prime \prime }(x)=2f^{\prime \prime }(x_0)$，该推测不成立。

取多项式中的任意一项 $f^{(m)}(x_0)(x-x_0{)}^m$（$m$ 为非负整数），对其逐阶求导：

• 一阶导数：$m\cdot f^{(m)}(x_0)(x-x_0{)}^{m-1}$（多一项系数 $m$）；
• 二阶导数：$m(m-1)\cdot f^{(m)}(x_0)(x-x_0{)}^{m-2}$（多一项系数 $m(m-1)$）；
• $⋮$
• $m$ 阶导数：$m!\cdot f^{(m)}(x_0)$（$m!$ 为 $m$ 的阶乘，即 $m!=m\times (m-1)\times \cdots \times 1$）；
• $m+1$ 阶导数：因 $m!\cdot f^{(m)}(x_0)$ 为常数，其导数为 $0$。

2. 邻域内的导数特性

当 $x\to x_0$ 时，$x-x_0\to 0$，因此：

• 对 $f^{(m)}(x_0)(x-x_0{)}^m$ 求 小于 $m$ 阶 的导数时，结果中仍含 $(x-x_0)$ 的正次幂，趋近于 $0$；
• 求 等于 $m$ 阶 的导数时，结果为 $m!\cdot f^{(m)}(x_0)$（非零常数）；
• 求 大于 $m$ 阶 的导数时，结果为 $0$。

3. 系数修正

对猜想的多项式 ${\sum }_{i=0}^n{f}^{(i)}(x_0)(x-x_0{)}^i$ 求 $m$ 阶导数，结果为 $m!\cdot f^{(m)}(x_0)$。但我们期望多项式在 $x_0$ 处的 $m$ 阶导数等于原函数的 $m$ 阶导数 $f^{(m)}(x_0)$，因此需将多项式各项除以 $m!$ 以修正系数，即乘以 $\frac{1}{m!}$。

修正后，函数在 $x_0$ 的邻域 $(x_0-\Delta x,x_0+\Delta x)$ 内的最终泰勒公式形式可表示为：
$$f(x)=\sum _{i=0}^n\frac{f^{(i)}\left(x_0\right)}{i!}{\left(x-x_0\right)}^i,x\in \left(x_0-\Delta x,x_0+\Delta x\right)$$

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泰勒公式推导过程（通俗+本质详解）

weixin_39578197 于 2020-11-29 05:15:10 发布

一、泰勒公式的核心定义

泰勒公式（也称泰勒展开式）是利用函数在某点的信息（各阶导数值），描述其在该点邻域内取值的数学公式。

若函数 $f(x)$ 足够平滑（即存在直至 $n+1$ 阶的导数），则在已知 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处各阶导数值的情况下，可构造一个多项式函数近似 $f(x)$，进而求解该邻域内任意点的函数值。

二、泰勒公式的作用

用多项式函数逼近给定函数（即使多项式图像与原函数图像在某点邻域内拟合）。注意，逼近的时候一定是从函数图像上的某个点展开。

对于复杂函数（如无法直接计算某点值的函数），可通过泰勒公式构造多项式近似求解。在机器学习领域，泰勒公式主要应用于梯度迭代算法。

三、问题的提出：为何选择多项式逼近？

1. 多项式函数的一般形式为：
   $$P_n(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_{n-1}{x}^{n-1}+a_n{x}^n$$
   其中 $a_0,a_1,\dots ,a_n$ 为系数。

2. 多项式函数的优势在于：对于任意给定的自变量取值，仅需通过有限次加法与乘法运算即可计算出对应的函数值，其数值计算过程具有效率高、逻辑清晰且易于编程实现或手工操作的特点。正是基于这一核心优势，泰勒公式选择多项式函数作为逼近复杂函数的工具——通过构造与复杂函数在局部具有近似函数值、各阶导数值的多项式函数，将难以直接分析和计算的复杂函数转化为结构简单的多项式函数，从而降低函数研究与数值计算的难度。

四、近似计算举例（以 $f(x)=\cos x$ 为例）

初等数学中，$\sqrt[5]{x}$、$e^x$、$\sin x$、$\cos x$、$\ln (1+x)$、$\arctan x$ 等函数精确计算困难，可通过多项式逼近简化。以下以 $f(x)=\cos x$ 在 $x_0=0$ 附近的逼近展开说明：

1. 一次（线性）逼近

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 附近的线性逼近公式（由导数与微分定义推导）：
$$f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$$

当 $x_0=0$ 时，公式简化为：
$$f(x)\approx f(0)+f^{\prime }(0)\cdot x$$

$f(x)=\cos x$ 在 $x_0=0$ 处的一次（线性）逼近推导

• 计算基础量：

  函数值：$f(0)=\cos 0=1$；

  一阶导数：$f^{\prime }(x)=-\sin x$，故 $f^{\prime }(0)=-\sin 0=0$。

• 构造逼近多项式：
  将基础量代入简化公式，得：
  $$\cos x\approx 1+0\cdot x=1$$

因此，$f(x)=\cos x$ 在 $x_0=0$ 附近的一次（线性）逼近多项式为：

$$P_1(x)=1$$

特点

$P_1(x)=1$ 形式简单、计算便捷，但精度低。因仅反映 $x_0=0$ 处局部线性特性，$x$ 远离 $0$ 时，误差显著增大。

几何意义：$P_1(x)=1$ 是 $y=\cos x$ 在 $(0,1)$ 处的切线，仅在该点附近与原函数图像贴合。

② 二次逼近：构造多项式与多阶导数匹配

为实现对 $f(x)=\cos x$ 的局部逼近，构造二次多项式 $P_2(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2$ 。我们要求 $P_2(x)$ 与 $f(x)$ 在 $x_0=0$ 处满足 “函数值、一阶导数、二阶导数逐层匹配” 的条件，以此保证两者在该点邻域内的局部形态一致性（从函数值到斜率，再到曲率的逐步拟合 ）。

1. 零阶匹配：函数值相等（常数项确定）

要求 $P_2(x)$ 与 $f(x)$ 在 $x=0$ 处函数值相等，即：
$$P_2(0)=f(0)$$

• 代入多项式与原函数：
  $P_2(0)=a_0+a_1\cdot 0+a_2\cdot 0^2=a_0$，
  $f(0)=\cos 0=1$。

• 结论：由 $a_0=1$，确定二次多项式的常数项 $a_0=1$ 。

2. 一阶匹配：一阶导数相等（一次项系数确定）

要求 $P_2(x)$ 与 $f(x)$ 在 $x=0$ 处一阶导数值相等（即切线斜率相同），即：
$$P_2^{\prime }(0)=f^{\prime }(0)$$

• 先求导：
  $P_2^{\prime }(x)=a_1+2a_{2}x$，故 $P_2^{\prime }(0)=a_1$；
  $f^{\prime }(x)=-\sin x$，故 $f^{\prime }(0)=-\sin 0=0$。

• 结论：由 $a_1=0$，确定二次多项式的一次项系数 $a_1=0$ 。

3. 二阶匹配：二阶导数相等（二次项系数确定）

要求 $P_2(x)$ 与 $f(x)$ 在 $x=0$ 处二阶导数值相等（即曲线弯曲程度与方向相同 ），即：
$$P_2^{\prime \prime }(0)=f^{\prime \prime }(0)$$

• 再求导：
  $P_2^{\prime \prime }(x)=2a_2$，故 $P_2^{\prime \prime }(0)=2a_2$；
  $f^{\prime \prime }(x)=-\cos x$，故 $f^{\prime \prime }(0)=-\cos 0=-1$。

• 结论：由 $2a_2=-1$，解得二次多项式的二次项系数 $a_2=-\frac{1}{2}$ 。

4. 二次逼近多项式与结论

将 $a_0=1$、$a_1=0$、$a_2=-\frac{1}{2}$ 代入 $P_2(x)$，得到 $f(x)=\cos x$ 在 $x_0=0$ 附近的二次逼近多项式：
$$P_2(x)=1-\frac{1}{2}{x}^2$$

因此，在 $x_0=0$ 的邻域内，可近似表示为：
$$\cos x\approx P_2(x)=1-\frac{1}{2}{x}^2$$

几何意义与适用范围

从几何角度看，$P_2(x)$ 与 $\cos x$ 在 $(0,1)$ 处实现了**“函数值、切线斜率、曲率”的三重匹配**，其逼近效果优于一次线性逼近。但需注意：

• 该逼近仅在局部区间（如 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ 附近 ）具备较好拟合度；
• 当 $x$ 远离 $x_0=0$ 时，误差会显著增大（因多项式仅能局部模拟原函数的非线性特征）。

3. 八次逼近

构造八次多项式 $P_8(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_8{x}^8$，要求其与 $f(x)=\cos x$ 在 $x_0=0$ 处满足 函数值、一阶至八阶导数值均相等：

• $P_8(0)=f(0)=1⟹a_0=1$；
• $P_8^{\prime }(0)=f^{\prime }(0)=0⟹a_1=0$；
• $P_8^{\prime \prime }(0)=f^{\prime \prime }(0)=-1⟹2!a_2=-1⟹a_2=-\frac{1}{2!}$；
• $P_8^{\prime \prime \prime }(0)=f^{\prime \prime \prime }(0)=0⟹3!a_3=0⟹a_3=0$；
• $P_8^{(4)}(0)=f^{(4)}(0)=1⟹4!a_4=1⟹a_4=\frac{1}{4!}$；
• $⋮$
• $P_8^{(8)}(0)=f^{(8)}(0)=1⟹8!a_8=1⟹a_8=\frac{1}{8!}$。

最终得到八次逼近多项式：
$$P_8(x)=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4-\frac{1}{6!}{x}^6+\frac{1}{8!}{x}^8$$

特点：$P_8(x)$（绿色图像）比 $P_2(x)$（蓝色图像）在更大范围内接近 $\cos x$（红色图像）。

综上，当对精度要求较高或需估计误差时，需采用高次多项式逼近，并引入误差公式量化偏差。

五、泰勒公式的推导

1. 定义问题

给定函数 $f(x)$，寻找一个在 $x_0$ 附近与 $f(x)$ 近似的 $n$ 次多项式 $P_n(x)$，满足：
$$P_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+\cdots +a_n(x-x_0{)}^n$$
使得 $f(x)\approx P_n(x)$ 并且两者误差 $R_n(x)=f(x)-P_n(x)$ 可估计。

误差 $R_n(x)$ 量化了 $f(x)$ 与 $P_n(x)$ 在 $x_0$ 附近的偏差。理想情况下，误差应尽可能小，以确保 $P_n(x)$ 精确逼近 $f(x)$。

几何解释：图中 $y=f(x)$ 和 $y=P_n(x)$ 为两条曲线，展示了 $P_n(x)$ 对 $f(x)$ 的逼近效果。

2. 多项式的约束条件

从几何角度，$y=f(x)$ 与 $y=P_n(x)$ 的图像需在 $x_0$ 附近充分接近，因此需满足以下条件：

1. 相交：两曲线在点 $(x_0,f(x_0))$ 相交，即 $P_n(x_0)=f(x_0)$；
2. 相切：两曲线在点 $(x_0,f(x_0))$ 斜率相同，即 $P_n^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)$；
3. 曲率一致：两曲线在点 $(x_0,f(x_0))$ 弯曲方向相同，即 $P_n^{\prime \prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(x_0)$；
4. 高阶拟合：进一步提高精度，要求直至 $n$ 阶导数值均相等，即 $P_n^{(k)}(x_0)=f^{(k)}(x_0)$（$k=0,1,2,\dots ,n$）。

3. 多项式系数的求解

对 $P_n(x)$ 逐阶求导，并代入 $x=x_0$，结合约束条件求解系数 $a_k$：

• 零阶导数（函数值）：$P_n(x_0)=a_0=f(x_0)⟹a_0=f(x_0)$；
• 一阶导数：$P_n^{\prime }(x)=a_1+2a_2(x-x_0)+\cdots +n{a}_n(x-x_0{)}^{n-1}$，代入 $x=x_0$ 得 $P_n^{\prime }(x_0)=a_1=f^{\prime }(x_0)⟹a_1=f^{\prime }(x_0)$；
• 二阶导数：$P_n^{\prime \prime }(x)=2a_2+3\times 2a_3(x-x_0)+\cdots +n(n-1)a_n(x-x_0{)}^{n-2}$，代入 $x=x_0$ 得 $P_n^{\prime \prime }(x_0)=2!a_2=f^{\prime \prime }(x_0)⟹a_2=\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}$；
• $⋮$
• $k$ 阶导数：$P_n^{(k)}(x_0)=k!a_k=f^{(k)}(x_0)⟹a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$（$k=0,1,\dots ,n$）。

4. 泰勒多项式与误差

将系数 $a_k$ 代入 $P_n(x)$，得到 泰勒多项式：
$$P_n(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$$

函数 $f(x)$ 与泰勒多项式 $P_n(x)$ 的差值即为 误差（余项）：
$$R_n(x)=f(x)-P_n(x)$$

六、泰勒公式的定义

若函数 $f(x)$ 在包含 $x_0$ 的开区间 $(a,b)$ 内具有直至 $n+1$ 阶的导数，则对任意 $x\in (a,b)$，有：
$$f(x)=\frac{f(x_0)}{0!}+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)$$

其中，$R_n(x)$ 为 拉格朗日余项（误差项），表达式为：
$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$$
（$\xi$ 为 $x_0$ 与 $x$ 之间的某个数）

拉格朗日余项的本质是将泰勒多项式扩展至 $n+1$ 阶，通过更高阶的导数量化逼近误差。

七、扩展：麦克劳林公式

麦克劳林公式是泰勒公式的 特殊情况，即当 $x_0=0$ 时的泰勒展开式。将 $x_0=0$ 代入泰勒公式，得：
$$f(x)=\frac{f(0)}{0!}+\frac{f^{\prime }(0)}{1!}x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+R_n(x)$$

常见初等函数的麦克劳林公式（带佩亚诺余项）

佩亚诺余项的形式为 $R_n(x)=o[(x-x_0{)}^n]$（即 $(x-x_0{)}^n$ 的高阶无穷小），当 $x_0=0$ 时，余项为 $o(x^n)$。

以下是几个常用函数的麦克劳林展开：

1. 指数函数：
   $$e^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{x}^n+o(x^n)$$

2. 正弦函数：
   $$\sin x=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\cdots +\frac{(-1{)}^{m-1}}{(2m-1)!}{x}^{2m-1}+o(x^{2m-1})$$

3. 余弦函数：
   $$\cos x=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4-\cdots +\frac{(-1{)}^m}{(2m)!}{x}^{2m}+o(x^{2m})$$

4. 对数函数：
   $$\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\cdots +\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{x}^n+o(x^n)$$

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泰勒公式的余项、性质、特殊形式及应用

一、泰勒公式的余项形式

在泰勒公式中，余项用于量化多项式对原函数的逼近误差，主要有以下两种形式，适用场景各有不同：

1. 拉格朗日余项

若函数 $f(x)$ 在包含 $x_0$ 的开区间 $(a,b)$ 内存在 $n+1$ 阶导数，则拉格朗日余项可表示为：
$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$$
其中 $\xi$ 是介于 $x_0$ 与 $x$ 之间的数。

特点与应用：

• 优势：可定量估计误差，适用于需严格控制精度的场景（如数值计算的精度验证 ）。
• 示例：用 $n$ 次泰勒多项式逼近 $f(x)=\sin x$ 时，通过拉格朗日余项可计算 $x\in [-1,1]$ 内的最大误差，确保结果满足精度要求。

2. 佩亚诺余项

佩亚诺余项的形式为：
$$R_n(x)=o\left[(x-x_0{)}^n\right]$$
其中 $o\left[(x-x_0{)}^n\right]$ 表示当 $x\to x_0$ 时，余项是 $(x-x_0{)}^n$ 的高阶无穷小（余项趋于0的速度快于 $(x-x_0{)}^n$ ）。

特点与应用：

• 优势：形式简洁，无需考虑 $n+1$ 阶导数的具体值，适用于分析函数在 $x_0$ 附近的局部逼近性质（如求极限、判断极值 ）。
• 示例：计算 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-x}{x^3}$ 时，利用 $\sin x$ 的麦克劳林展开（带佩亚诺余项）$\sin x=x-\frac{1}{3!}{x}^3+o(x^3)$，可快速化简得极限为 $-\frac{1}{6}$。

二、泰勒公式的核心性质

1. 逼近的“局部性”

泰勒公式的逼近效果集中体现于 $x_0$ 的邻域（即 $x$ 与 $x_0$ 足够接近时 ）。即使是高次多项式，当 $x$ 远离 $x_0$ 时，误差会显著增大。

示例：$f(x)=\cos x$ 在 $x_0=0$ 处的八次麦克劳林多项式 $P_8(x)$，在 $x\in [-\pi ,\pi ]$ 内与 $\cos x$ 拟合较好；但当 $x>\pi$ 或 $x<-\pi$ 时，$P_8(x)$ 会快速偏离真实值，印证了“局部性”特征。

2. 导数的“信息传递”

泰勒公式的本质是将函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的各阶导数信息转化为多项式系数，通过多项式“复现”函数的局部性质。导数阶数越高，多项式包含的函数信息越丰富，逼近精度越高（邻域内 ）。

示例：

• 零阶多项式 $P_0(x)=f(x_0)$：仅利用函数值，是“常数逼近”；
• 一阶多项式 $P_1(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$：利用函数值与一阶导数，是“线性逼近”；
• 二阶多项式：额外利用二阶导数，实现“曲率匹配”，逼近效果进一步提升。

三、麦克劳林公式的价值与应用

麦克劳林公式是 $x_0=0$ 时的泰勒公式，因展开点简单，在工程计算、物理建模中应用广泛：

1. 简化复杂函数计算

对于无法直接计算的函数值（如 $e^{0.1}$、$\sin 0.05$ ），可通过麦克劳林展开的前几项快速估算。

示例：计算 $e^{0.1}$ 时，利用 $e^x$ 的麦克劳林公式：
$$e^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3+o(x^3)$$
代入 $x=0.1$，取前4项计算：
$$e^{0.1}\approx 1+0.1+\frac{1}{2}\times 0.1^2+\frac{1}{6}\times 0.1^3=1.105166\cdots$$
与真实值 $e^{0.1}\approx 1.105170918$ 的误差约 $4.3\times 10^{-6}$，满足工程精度需求。

2. 推导函数的运算公式

利用麦克劳林公式可简化函数的乘积、商、复合等运算。

示例：推导 $e^x\cdot \sin x$ 的麦克劳林展开式（前3项 ）：

• 已知 $e^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+o(x^2)$，$\sin x=x-\frac{1}{3!}{x}^3+o(x^3)$；
• 相乘时忽略高于 $x^3$ 的项（佩亚诺余项吸收高阶无穷小 ）：
  $$\begin{array}{rl}{e}^x\cdot \sin x& =\left(1+x+\frac{1}{2}{x}^2\right)\left(x-\frac{1}{6}{x}^3\right)+o(x^3)\\ & =x+x^2+\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3)\end{array}$$
  该结果可用于极限计算或积分近似。

四、泰勒公式在数值分析中的应用

1. 数值积分

对于无法用初等函数表示原函数的积分（如 ${\int }_0^1{e}^{-x^2}dx$ ），可先将被积函数展开为泰勒多项式，再积分实现“近似计算”。

示例：计算 ${\int }_0^{0.5}\cos x^{2}dx$：

• 利用 $\cos t$ 的麦克劳林公式（令 $t=x^2$ ）：$\cos x^2=1-\frac{1}{2!}{x}^4+\frac{1}{4!}{x}^8-o(x^8)$；
• 对多项式积分：
  $$\begin{array}{rl}{\int }_0^{0.5}\cos x^{2}dx& \approx {\int }_0^{0.5}\left(1-\frac{1}{2}{x}^4+\frac{1}{24}{x}^8\right)dx\\ & ={\left[x-\frac{1}{10}{x}^5+\frac{1}{216}{x}^9\right]}_0^{0.5}\\ & \approx 0.499583\end{array}$$
  与辛普森法计算的精确值（约 0.499583）基本一致。

2. 方程求根（牛顿迭代法）

牛顿迭代法是常用的方程求根算法，其核心理论基于泰勒公式。

原理：
对于方程 $f(x)=0$，取 $x_0$ 为初始近似根，将 $f(x)$ 在 $x_0$ 处展开为一阶泰勒多项式：
$$f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$$
令多项式为 0，解出下一个近似根：
$$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}$$
重复过程直至满足精度要求。牛顿迭代法的快速收敛性，源于一阶泰勒多项式对 $f(x)$ 的局部逼近效果。

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via：

• 浅显易懂 —— 泰勒展开式 - 优快云 博客
  https://blog.youkuaiyun.com/SoHardToNamed/article/details/80550935

• 泰勒公式推导过程_Taylor 公式（泰勒公式）通俗 + 本质详解 - 优快云 博客
  https://blog.youkuaiyun.com/weixin_39578197/article/details/110866791

• 泰勒展开续集 —— 拉格朗日余项如何推导？有何含义？_哔哩哔哩_bilibili
  https://www.bilibili.com/video/BV12s411E7nv/