MATLAB 报错 | “矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能不准确”

注：本文为 “ MATLAB 报错” 相关合辑。
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如有内容异常，请看原文。

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Moore-Penrose 广义逆：可解决 MATLAB 报错“矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能不准确”

奔跑的 Yancy 于 2018-11-12 21:38:15 发布

当 $AX=b$ 线性方程组是一个病态方程组，或者 $A$ 是奇异矩阵（即 $\det (A)=0$，不可逆），没法求逆，用不了 $\text{inv}(A)$ 方法只能用 $A\backslash b$，此时 MATLAB 会报错 “矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能不准确”。

这并非 MATLAB 本身的问题，而是其内置算法的鲁棒性局限所致，直接使用 $A\backslash b$ 方法无法处理这一棘手问题。缺乏矩阵论或数值计算方法基础的同学可能对此难以理解。

本文借助 Moore-Penrose 广义逆解决该问题，帮助理解带奇异矩阵的病态方程组的求解方法。

首先我们来看 mldivide、\ 在 MATLAB 中的含义：

也就是说，$A\backslash b$ 的方法可以求解包含奇异矩阵的方程组，但可能会出错，且误差可能非常大。（此例告诫我们，不应认为 MATLAB 计算的结果均为准确，MATLAB 不过是调用若干算法进行运算，每种算法都可能存在一定缺陷，无法处理某些极端情况。）可参考其内置算法原理：

• mldivide - 求解关于 x 的线性方程组 Ax = B - MATLAB
  https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/double.mldivide.html

这里涉及数值计算方法领域中矩阵的性态问题。我们可直观感受如下：

假设如下方程组：

$\{\begin{array}{l}0.1x_1+0.2x_2=0.3\\ 0.2x_1+0.4001x_2=0.6001\end{array}$

其精确解是 $(1,1)$。

若对等式两边做极其微小的变化：

$\{\begin{array}{l}0.1x_1+0.2x_2=0.3\\ 0.2x_1+0.4001x_2=0.6002\end{array}$

其精确解变为：$(10,-2)$。

极其微小的扰动导致方程的解产生巨大变动，我们称上述方程组为病态方程组，系数矩阵 $A$ 为病态矩阵。

若遇到非方阵，或不可求逆的方阵，要求解 $AX=b$ 并避免奇异值导致 MATLAB 产生错误，可采用“伪逆”解决该问题。

广义逆矩阵：

对任意矩阵 $A$，提出四个条件：

1. $ABA=A$
2. $BAB=B$
3. $(AB{)}^{\ast }=AB$（其中 $\ast$ 表示共轭转置）
4. $(BA{)}^{\ast }=BA$

若存在矩阵 $G$ 满足上述部分或全部条件，则 $G$ 可称为 $A$ 的广义逆矩阵。最常用的四种广义逆矩阵定义如下：

• 1 - 逆：仅满足条件 1 的矩阵 $G$，记为 $A^{(1)}$
• 2 - 逆：满足条件 1 和 2 的矩阵 $G$，记为 $A^{(1,2)}$
• 3 - 逆：满足条件 1 和 3 的矩阵 $G$，记为 $A^{(1,3)}$
• 4 - 逆（Moore-Penrose 广义逆）：同时满足上述四个条件的矩阵 $G$，记为 $A^{+}$，其具有唯一性

MATLAB 中自带的 $\text{pinv}$ 方法可求解矩阵的 M-P 广义逆，即 $A^{+}$ 矩阵。官方文档：

• pinv - 摩尔-彭罗斯伪逆 - MATLAB
  https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/pinv.html

可查阅官方文档查看具体应用实例。

若求出 $A^{+}$，则求解 $AX=b$ 可有另一种思路：当方程组 $AX=b$ 有解时，$x=A^{+}b$ 是其中一个特解；当方程组无解时，$x=A^{+}b$ 是使残差 $\Vert AX-b\Vert$ 最小的最小二乘解，且在所有解中其范数 $\Vert x\Vert$ 最小。

此处，通解的表达式仍类似于 $X=X^{\ast }+X_0$ 的形式，$A^{+}b$ 相当于特解，后一项为带系数的自由解，$y$ 可取任意数，注意维度匹配即可。

因此，调用 $\text{pinv}$ 求出 M-P 广义逆后，利用 $x=A^{+}b+(I-A^{+}A)y$ 构造通解即可。

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在使用 matlab 对矩阵求逆时出现了“警告: 矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能不准确

BUAA_YBX 于 2021-10-22 20:07:09 发布

在使用 matlab 对矩阵求逆时出现“警告: 矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能不准确”

此时可用 $\text{pinv}$ 代替 $\text{inv}$，即可解决该问题。

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警告: 矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能不准确

进击的 INS_er 于 2023-04-06 21:31:22 发布

用 MATLAB 求矩阵的逆的运算时，有时会出现“警告: 矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能不准确”的情况，使用 $\text{inv}$、$\text{pinv}$、$x^{-1}$ 均会出现该问题，此时可考虑用以下代码解算：

function invM = invbc(M)
  D = sqrt(diag(M));
  K = max(D)./D;
  K = diag(K);
  invM = K/(K*M*K)*K;  
return

参考

严恭敏老师工具箱，里面可下载工具箱 matlab [源码]。

• PSINS（高精度捷联惯导算法）-PSINS
  https://www.psins.org.cn/

此处感谢严老师无私分享！

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via：

• Moore-Penrose 广义逆：可解决 MATLAB 报错 “矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能不准确”_矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能不准确对吗 - 优快云 博客
  https://blog.youkuaiyun.com/lyxleft/article/details/83998246

• 在使用 matlab 对矩阵求逆时出现了 “警告：矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能不准确_matlab 矩阵求逆接近奇异值 - 优快云 博客
  https://blog.youkuaiyun.com/weixin_41692946/article/details/120912551

• 警告：矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能不准确_矩阵接近奇异值或缩放错误如何解决 - 优快云 博客
  https://blog.youkuaiyun.com/weixin_42599354/article/details/129999786

• matlab 使用出现矩阵为奇异值、接近奇异值或缩放错误。结果可能不准确。RCOND = NaN。 - 知乎
  https://zhuanlan.zhihu.com/p/674691392