精通Python（64）

NumPy的应用-4

向量

向量（vector）也叫矢量，是一个同时具有大小和方向，且满足平行四边形法则的几何对象。与向量相对的概念叫标量或数量，标量只有大小，绝大多数情况下没有方向。我们通常用带箭头的线段来表示向量，在平面直角坐标系中的向量如下图所示。需要注意的是，向量是表达大小和方向的量，并没有规定起点和终点，所以相同的向量可以画在任意位置，例如下图中 $\mathbf{w}$ 和 $\mathbf{u}$ 两个向量并没有什么区别。

向量有很多种代数表示法，对于二维空间的向量，下面几种写法都是可以的。

$$\mathbf{a}=⟨a_1,a_2⟩=(a_1,a_2)=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ \\ a_2\end{array}\right)=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ \\ a_2\end{array}\right]$$

向量的大小称为向量的模，它是一个标量，对于二维空间的向量，模可以通过下面的公式计算。

$$|\mathbf{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$$

注意，这里的 $|\mathbf{a}|$ 并不是绝对值，你可以将其称为向量 $\mathbf{a}$ 的二范数，这是数学中的符号重用现象。上面的写法和概念也可以推广到 $n$ 维空间，我们通常用 ${\mathbf{R}}^{\mathbf{n}}$ 表示 $n$ 维空间，我们刚才说的二维空间可以记为 ${\mathbf{R}}^2$ ，三维空间可以记为 ${\mathbf{R}}^3$ 。虽然生活在三维空间的我们很难想象四维空间、五维空间是什么样子，但是这并不影响我们探讨高维空间，机器学习中，我们经常把有 $n$ 个特征的训练样本称为一个 $n$ 维向量。

向量的加法

相同维度的向量可以相加得到一个新的向量，运算的方法是将向量的每个分量相加，如下所示。

$$\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ \\ u_2\\ \\ ⋮\\ \\ u_n\end{array}\right],\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ \\ v_2\\ \\ ⋮\\ \\ v_n\end{array}\right],\mathbf{u}+\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}{u}_1+v_1\\ \\ u_2+v_2\\ \\ ⋮\\ \\ u_n+v_n\end{array}\right]$$

向量的加法满足“平行四边形法则”，即两个向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 构成了平行四边形的两条邻边，相加的结果是平行四边形的对角线，如下图所示。

向量的数乘

一个向量 $\mathbf{v}$ 可以和一个标量 $k$ 相乘，运算的方法是将向量中的每个分量与该标量相乘即可，如下所示。

$$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ \\ v_2\\ \\ ⋮\\ \\ v_n\end{array}\right],k\cdot \mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}k\cdot v_1\\ \\ k\cdot v_2\\ \\ ⋮\\ \\ k\cdot v_n\end{array}\right]$$

我们可以用 NumPy 的数组来表示向量，向量的加法可以通过两个数组的加法来实现，向量的数乘可以通过数组和标量的乘法来实现，此处不再进行赘述。

向量的点积

点积（dot product）是两个向量之间最为重要的运算之一，运算的方法是将两个向量对应分量的乘积求和，所以点积的结果是一个标量，其几何意义是两个向量的模乘以二者夹角的余弦如下所示。

$$\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ \\ u_2\\ \\ ⋮\\ \\ u_n\end{array}\right],\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ \\ v_2\\ \\ ⋮\\ \\ v_n\end{array}\right]$$

$$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\sum _{i=1}^n{u}_i{v}_i=|\mathbf{u}||\mathbf{v}|cos\theta$$

假如我们用三维向量来表示用户对喜剧片、言情片和动作片这三类电影的偏好，我们用 1 到 5 的数字来表示喜欢的程度，其中 5 表示非常喜欢，4 表示比较喜欢，3 表示无感，2 表示比较反感，1 表示特别反感。那么，下面的向量表示用户非常喜欢喜剧片，特别反感言情片，对动作片不喜欢也不反感。

$$\mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}5\\ \\ 1\\ \\ 3\end{array}\right)$$

现在有两部电影上映了，一部属于言情喜剧片，一部属于喜剧动作片，我们把两部电影也通过3维向量的方式进行表示，如下所示。

$${\mathbf{m}}_1=\left(\begin{array}{c}4\\ \\ 5\\ \\ 1\end{array}\right),{\mathbf{m}}_2=\left(\begin{array}{c}5\\ \\ 1\\ \\ 5\end{array}\right)$$

如果现在我们需要向刚才的用户推荐一部电影，我们应该给他推荐哪一部呢？我们可以将代表用户的向量 $\mathbf{u}$ 和代表电影的向量 ${\mathbf{m}}_1$ 和 ${\mathbf{m}}_2$ 分别进行点积运算，再除以向量的模长，得到向量夹角的余弦值，余弦值越接近 1，说明向量的夹角越接近 0 度，也就是两个向量的相似度越高。很显然，我们应该向用户推荐跟他观影喜好相似度更高的电影。

$$cos{\theta }_1=\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{m}1}{|\mathbf{u}||\mathbf{m}1|}\approx \frac{4\times 5+5\times 1+3\times 1}{5.92\times 6.48}\approx 0.73$$

$$cos{\theta }_2=\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{m}2}{|\mathbf{u}||\mathbf{m}2|}\approx \frac{5\times 5+1\times 1+3\times 5}{5.92\times 7.14}\approx 0.97$$

大家可能会说，向量 ${\mathbf{m}}_2$ 代表的电影肉眼可见跟用户是更加匹配的。的确，对于一个三维向量我们凭借直觉也能够给出正确的答案，但是对于一个 $n$ 维向量，当 $n$ 的值非常大时，你还有信心凭借肉眼的观察和本能的直觉给出准确的答案吗？向量的点积可以通过dot函数来计算，而向量的模长可以通过 NumPy 的linalg模块中的norm函数来计算，代码如下所示。

u = np.array([5, 1, 3])
m1 = np.array([4, 5, 1])
m2 = np.array([5, 1, 5])
print(np.dot(u, m1) / (np.l