线性dp

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题目分析:股票买卖。给股票价格。先买后卖,只能手持一股。求最大收益。

LL dp[1002][1002];
int main(){
    int i , j , n , m, k , x[1002] ;
    //freopen("in.txt" , "r" , stdin);
    while(scanf("%d%d",&n,&m) != EOF){
        for(i = 1;i <= n;i++)
            scanf("%d",&x[i]);
        memset(dp , 0 , sizeof(dp));
        LL mx = 0;
        for(j = 1;j <= m;j++){
            mx = dp[1][j - 1] - x[1];
            for(i = 1;i <= n;i++){
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j] , mx + x[i]);
                mx = max(mx , dp[i][j - 1] - x[i]);
            }
        }
        cout << dp[n][m]<<endl;
    }
}


### 动态规划求解背包问题 #### 定义与背景 背包问题是一类经典的组合优化问题,旨在给定一组物品及其价值和重量的情况下,在不超过容量的前提下最大化所选物品的价值总和。对于此类问题,动态规划提供了一种有效的解决方案。 #### 线性动态规划简介 线性动态规划是指那些状态转移仅依赖于前一步骤的状态,并且这些状态沿单一方向依次更新的情况[^3]。当应用于背包问题时,这意味着当前决策只取决于之前的选择结果而不涉及未来的预测。 #### 使用线性DP解决0/1背包问题的具体方法 为了简化说明,这里讨论的是最基础版本的0/1背包问题: - 设有n件不同类型的物品以及一个最大承重为W的背包; - 对第i项物品而言,其对应的权重wi和收益vi都是已知量; 定义二维数组`dp[i][w]`表示从前i个物件里挑选若干放入载荷上限为w的包裹内所能获得的最大效益,则状态转换方程可写作如下形式: \[ dp[i][w]=\max(dp[i−1][w],dp[i−1][w-w_i]+v_i)\] 其中\( w \geqslant wi\) ,否则取 \(dp[i][w]=dp[i-1][w]\),即不考虑加入新项目的情形。 此过程通过迭代遍历所有可能的商品组合来逐步构建最终解答表,从而找到全局最优解。 ```python def knapsack(weights, values, capacity): n = len(values) # 创建并初始化dp表格 dp = [[0]*(capacity+1) for _ in range(n+1)] for i in range(1,n+1): for c in range(capacity+1): if weights[i-1]<=c: dp[i][c]= max(dp[i-1][c],values[i-1]+dp[i-1][c-weights[i-1]]) else : dp[i][c]=dp[i-1][c] return dp[-1][-1] ``` 上述代码实现了基于线性动态规划原理处理标准型整数约束下的0/1背包模型的功能[^2]。 #### 性能分析 这种方法的时间复杂度主要由两个嵌套循环决定,因此总体效率大约为O(N*W),N代表商品数量而W则是指代背包容积大小。尽管如此,由于采用了记忆化技术保存中间运算成果,使得实际执行速度远优于暴力穷举法。
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