线性 DP

目前只有数字三角形模型，其余待更新

总说

线性DP，是指在线性结构上进行状态转移，是一个线性的递推关系。可以是一维线性的、二维线性的、三维线性的。

以下总结一些常见模板模型， 还有很多题需要现场推导， 

一、数字三角形模型

1.1 数字三角形（模板题）

题目描述：

题目链接898. 数字三角形 - AcWing题库

思路

对于图上的每一点，只有2种更新方式，从左上或者右上来，我们存下最大值就行。

代码模板：

#include<iostream>
#include<cstring>

using namespace std;

const int N = 510;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n;
int w[N][N], f[N][N];

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    memset(f, -0x3f, sizeof f); //初始化
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) //读入数据
        for(int j = 1; j <= i; j++)
            scanf("%d",&w[i][j]);
    
    f[1][1] = w[1][1];  //第一个点直接更新
    for(int i = 2; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= i; j++)
            f[i][j] = max(f[i - 1][j - 1] + w[i][j], f[i - 1][j] + w[i][j]);//取左上、右上最大值 + 当前位置的值
            
    int res = -INF;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        res = max(res, f[n][i]);    //在最后一层找最大值
    printf("%d", res);
    
    return 0;
}

1.2 摘花生 

题目描述：

题目链接：1015. 摘花生 - AcWing题库

思路

代码模板：

这一题与1.1思路完全相同，更新方式也一样，我们直接给出代码

#include<iostream>
#include<cstring>

using namespace std;

const int N = 110;

int w[N][N], f[N][N];

int t, r, c;

int main()
{
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        memset(f, 0, sizeof f); //每次初始化dp数组
        scanf("%d %d", &r, &c);
        
        for(int i = 1; i <= r; i++) //读入数据,从1,1开始是因为从0,0开始的话可能会越界
            for(int j = 1; j <= c; j++)
                scanf("%d", &w[i][j]);
        
        for(int i = 1; i <= r; i++)
            for(int j =  1; j <= c; j++)
                f[i][j] = max(f[i][j - 1] + w[i][j], f[i - 1][j] + w[i][j]);//只能从上或左 来到这个位置
        
        printf("%d\n", f[r][c]);
    }
    return 0;
}

1.3 最低通行费

题目描述

题目链接：1018. 最低通行费 - AcWing题库

思路

商人要从左上角走到右下角，第一眼看见商人能上下左右行走，有点像搜索题，但是题目要求商人必须在（2N - 1）个单位实时间出去，也就说明他只能往右 或者 往下，否则就会超时。

代码模板

#include<iostream>
#include<cstring>

using namespace std;

const int N = 110;

int w[N][N], f[N][N];
int n, m;

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            scanf("%d", &w[i][j]);
    
    memset(f, 0x3f, sizeof f); //初始化
    f[1][1] = w[1][1]; //初始化起点
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            f[i][j] = min(min(f[i][j], f[i - 1][j] + w[i][j]), f[i][j - 1] + w[i][j]);
    printf("%d",f[n][n]);
    return 0;
}

优化

由于我们计算 f[i] 层时，只用到了 f[i-1] 层的数据

所以我们可以优化成一维

由于不会像01背包一样被覆盖，所以也不用从大到小枚举。

优化后代码

#include<iostream>
#include<cstring>

using namespace std;

const int N = 110;

int w[N][N], f[N];
int n;

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            scanf("%d", &w[i][j]);
    
    memset(f, 0x3f, sizeof f); //初始化
    f[1] = 0; //初始化起点
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            f[j] = min(f[j] + w[i][j], f[j - 1] + w[i][j]);
    printf("%d", f[n]);
    return 0;
}

1.4 方格取数

题目描述

题目链接：1027. 方格取数 - AcWing题库

思路

代码模板

二、最长上升子序列

2.1