【Derivation】正态分布特征函数证明-X~N(a,sigma^2)

求证：$\varphi（u）=e^{jau-\frac{1}{2}u^2\sigma^2} \ \ \ , t\in R$
证：

• • $$\varphi（u）=\int _ {-\infty} ^ {+\infty} e^{jux}f(x)dx$$ $$=\int_ {-\infty}^{+\infty} e^{jux} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{- \frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}dx$$
• 整理，得：
• φ（u）=12πσ2−−−−√∫+∞−∞ejuxe−(x−a)22σ2dx