数据结构之深入了解树结构

一、树的基本概念

1. 树的定义

树是一种非线性的数据结构，可以用二元组 T=(D,R) 表示，其中：

• D 是数据元素的集合
• R 是元素间关系的集合

树具有以下特性：

• 当 n=0 时为空树
• 当 n>0 时，有且仅有一个没有前驱的节点（称为根节点）
• 除根节点外，其他节点有且仅有一个前驱，可以有多个后继

递归定义：树是 n=0 的空树，或者 n>0 时由根节点和 m 个互不相交的子树构成

2. 树的相关定义

• 度：节点的后继节点个数。度为0的节点称为叶子节点，度不为0的称为分支节点

• 边：连接相邻两个节点的连线。两个节点之间的路径是唯一的

• 路径长度：树有 n-1 条边

• 深度：从根节点到该节点的路径长度（通常根节点深度为0或1）

• 高度：从节点到叶子节点的最长路径上的边数

• 兄弟节点：具有相同双亲节点的节点互为兄弟

二、树的存储结构

1. 双亲结点表示法（父指针表示法）

适用场景：快速查找父节点。
存储方式：每个节点保存父节点的索引/指针。

struct ParentTreeNode {
    int data;
    int parentIndex; // 根节点为-1
};

vector<ParentTreeNode> tree = {
    {1, -1},  // 根节点A
    {2, 0},   // B的父节点是A
    {3, 0},   // C的父节点是A
    {4, 1}    // D的父节点是B
};

2. 孩子表示法（邻接表）

适用场景：需要频繁访问子节点（如文件系统）。
存储方式：每个节点维护一个子节点列表。

struct ChildTreeNode {
    int data;
    vector<ChildTreeNode*> children;
};

// 构建树 A(B(D), C)
ChildTreeNode* root = new ChildTreeNode{1, {
    new ChildTreeNode{2, {
        new ChildTreeNode{4, {}}
    }},
    new ChildTreeNode{3, {}}
}};

3. 孩子兄弟表示法（二叉树表示法）

适用场景：将普通树转为二叉树存储（左孩子右兄弟）。
存储方式：

        左指针：指向第一个孩子

        右指针：指向下一个兄弟

4. 顺序存储（数组表示）

适用场景：完全二叉树/堆。
存储方式：按层级顺序存入数组。

vector<int> tree = {1, 2, 3, 4, -1, -1, 5}; 
// -1表示空节点
// 对应树结构：
//     1
//    / \
//   2   3
//  /     \
// 4       5

父节点索引：(i-1)/2

左子节点：2i+1

右子节点：2i+2

三、二叉树

1. 二叉树的定义

二叉树是每个节点最多有两个子节点的树结构，分别称为左子树和右子树。

2. 特殊二叉树类型

2.1 满二叉树：

        （1）所有节点的度都为2

        （2）叶子节点都在最底层

        （3）高度为h的满二叉树有2^h-1个节点

2.2 完全二叉树：

        （1）除最后一层外，其他层都是满的

        （2）最后一层节点靠左排列

        （3）适合用数组存储

2.3 二叉搜索树(BST)：

        （1）左子树所有节点值小于根节点值

        （2）右子树所有节点值大于根节点值

        （3）中序遍历可以得到有序序列

对于序列13,9,42,3,5,1,19,72,32,7,4，构建的BST如下：

        13
      /    \
     9     42
    / \    / \
   3   19 32 72
  / \  /
 1 5 7
    /
   4

2.4 平衡二叉搜索树

AVL树：任意节点的左右子树高度差不超过1

红黑树：通过颜色标记保持近似平衡

四、堆结构

1. 堆的定义

堆是基于完全二叉树实现的一种特殊数据结构：

• 最大堆：父节点值大于等于子节点值

• 最小堆：父节点值小于等于子节点值

2. 堆的存储

堆通常用数组存储，对于索引为n的节点：

• 父节点索引：(n-1)/2

• 左子节点索引：2n+1

• 右子节点索引：2n+2

3. 堆的应用

• 堆排序：时间复杂度O(nlogn)的不稳定排序算法
• 优先级队列：高效获取最大/最小元素的数据结构

五、哈夫曼树

1. 基本概念

哈夫曼树是带权路径长度最短的二叉树，用于数据压缩编码

• 定长编码：如ANSI、GB2312/GBK

• 变长编码：如UTF-8（1-4字节）

2. 哈夫曼树特性

• 叶子节点数 = 分支节点数 + 1

• 没有度为1的节点

• 权值越大的节点离根越近

3. 构建步骤

1. 将所有权值作为单独的树

2. 选择权值最小的两棵树合并，新树根节点权值为两者之和

3. 重复步骤2直到只剩一棵树

六、树的遍历

1. 二叉树的遍历方式

        A
      /   \
     B     C
    / \   /
   D   E F
  / 
 G 

• 先序遍历：ABDGECF（根-左-右）

• 中序遍历：GDBEAFC（左-根-右）

• 后序遍历：GDEBFCA（左-右-根）

• 层序遍历：ABCDEFG（按层次从上到下、从左到右）

2. 遍历应用

• 先序遍历：复制树结构

• 中序遍历：BST获取有序序列

• 后序遍历：计算表达式树

• 层序遍历：查找最短路径

七、树结构的实际应用

1. 文件系统：目录树结构

2. 数据库索引：B树、B+树

3. 网络路由：路由表树

4. 游戏AI：决策树

5. XML/HTML解析：DOM树