【Derivation】MarkDown Letex编码之正态分布特征函数证明

最新推荐文章于 2024-05-30 16:56:29 发布

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该博客详细证明了正态分布特征函数$varphi(u)=e^{jau-frac{1}{2}u^2sigma^2}$的数学推导过程，通过积分、微分方程和拉普拉斯变换等数学工具，展示了一步步得到该表达式的步骤。

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**求证：$\varphi（u）=e^{jau-\frac{1}{2}u^2\sigma^2} \ \ \ , t\in R $**  
**证：**
  
* *   $$\varphi（u）=\int _ {-\infty} ^ {+\infty} e^{jux}f(x)dx$$   $$=\int_ {-\infty}^{+\infty} e^{jux} \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}  e^{- \frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}dx$$
* 整理，得：
* $$\varphi（u）= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int _ {-\infty} ^ {+\infty} e^{jux}   e^{- \frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}dx $$
* * beacuse $|jx  e^{jux}   e^{- \frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}| \leq |x| e^{jux}   e^{- \frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}$ and $ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}|x| e^{jux}   e^{- \frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}} < +\infty$ , $so $可以对$\varphi（u）$求$u$的一阶导数，
* 有：  $$\varphi \prime（u）= \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int _ {-\infty} ^ {+\infty} {jx}\ e^{jux}   e^{- \frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}dx   $$
综合可推：
 $$j{(u-j\frac{a}{\sigma^2})\varphi (u)}+\frac{j{\varphi \prime(u) } } {\sigma^2} $$$$=$$ $$ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int _ {-\infty} ^ {+\infty} { ( ju-\frac{x-a}{\sigma^2} })\ e^{jux}   e^{- \frac{(x-a)