数学分析(一)-实数集与函数3-函数概念5：反函数

五、反函数

函数 $y=f(x)$ 的自变量 $x$ 与因变量 $y$ 的关系往往是相对的. 有时我们不仅要研究 $y$随 $x$ 而变化的状况,也要研究 $x$ 随 $y$ 而变化的状况.对此,我们引人反函数概念.

设函数

$$y=f(x),x\in D$$

满足: 对于值域 $f(D)$ 上的每一个 $y,D$ 中有且只有一个 $x$, 使得

$$f(x)=y,$$

则按此对应法则得到一个定义在 $f(D)$ 上的函数, 称这个函数为 $f$ 的反函数, 记作
$$\begin{array}{c}{f}^{-1}:f(D)\to D,\\ y⟼x\end{array}$$

或

$$x=f^{-1}(y),y\in f(D).$$

注 1 函数 $f$ 有反函数, 意味着 $f$ 是 $D$ 与 $f(D)$ 之间的一个一一映射. 我们称 $f^{-1}$ 为映射 $f$ 的逆映射,它把集合 $f(D)$ 映射到集合 $D$, 即把 $f(D)$ 中的每一个值 $f(a)$ 对应到 $D$ 上唯一的一个值 $a$. 这时称 $a$ 为逆映射 $f^{-1}下f(a)$ 的象, 而 $f(a)$ 则是 $a$ 在逆映射 $f^{-1}$ 下的原象.

从上述讨论还可看到, 函数 $f$ 也是函数 $f^{-1}$ 的反函数. 或者说, $f$ 与 $f^{-1}$ 互为反函数.并有
f − 1 ( f ( x ) ) ≡ x , x ∈ D , f ( f − 1 ( y ) ) ≡ y , y ∈ f ( D ) . \begin{array}{c} f^{-1}(f(x)) \equiv x, x \in D, \\ f\left(f^{-1}(y)\right) \equiv y, y \in f(D) . \end{array}