数学分析(一)-实数集与函数4-具有某些特性的函数1：有界函数【设f为定义在D上的函数，若存在数M，使得对每一个x∈D，有f(x)≤M，则称f为D上的有上界函数，M称为f在D上的一个上界】

在本节中, 我们将介绍以后常用到的几类具有某些特性的函数.

一、有界函数

定义 1

设 $f$ 为定义在 $D$ 上的函数. 若存在数 $M(L)$, 使得对每一个 $x\in D$, 有

$$f(x)⩽M(f(x)⩾L),$$

则称 $f$ 为 $D$ 上的有上 (下) 界函数, $M(L)$ 称为 $f$ 在 $D$ 上的一个上(下) 界.

根据定义, $f$ 在 $D$ 上有上 (下) 界, 意味着值域 $f(D)$ 是一个有上 (下)界的数集. 又若 $M(L)$ 为 $f$ 在 $D$ 上的上 (下) 界, 则任何大于 (小于)$M(L)$ 的数也是 $f$ 在 $D$ 上的上 (下) 界.

定义 2

设 $f$ 为定义在 $D$ 上的函数. 若存在正数 $M$, 使得对每一个 $x\in D$, 有

$$|f(x)|⩽M,$$

则称 $f$ 为 $D$ 上的 有界函数.

根据定义, $f$ 在 $D$ 上有界, 意味着值域 $f(D)$ 是一个有界集. 又按定义, 不难验证: $f$在 $D$ 上有界的充要条件是 $f$ 在 $D$ 上既有上界又有下界. (1) 式的几何意义是: 若 $f$ 为 $D$上的有界函数,则 $f$ 的图像完全落在直线 $y=M$ 与 $y=$