数学分析(六)-微分中值定理及其应用2-不定式极限2-洛必达法则1：“洛必达法则”定义【以“柯西中值定理”为理论依据，通过分子分母分别求导再求极限来计算0/0型或∞/∞型不定式极限的方法】

我们在第三章学习无穷小 (大) 量阶的比较时, 已经遇到过两个无穷小(大)量之比的极限. 由于这种极限可能存在, 也可能不存在,因此我们把两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限统称为不定式极限, 分别记为$\frac{0}{0}$ 型或 $\frac{\infty }{\infty }$ 型的不定式极限.

以导数为工具研究不定式极限, 这个方法通常称为洛必达 ($L^{\prime }$ Hospital) 法则.

柯西中值定理则是建立洛必达法则的理论依据.

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1. 内容介绍

洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，即

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

当然这里的 $x_0$ 可以为 $\pm \infty$

2. 使用限制

我们使用洛必达法则求极限必须要注意分子分母必须同时为零或者为无穷大，否则我们会得到错误的结果。例如

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x+1}{x}\ne \frac{1}{1}$$

3. 直观解释

我们对 $\frac{0}{0}$ 弄和 $\frac{\infty }{\infty }$ 型分别进行讨论。

• 对于前者，因为在在该点分子分母分别为 0，因此该点的极限直接看我们并不知道是多少，所以我们要看该点附近的变化趋势。由变化趋势所决定，也就是它们的导数在该点的比值。
• 对于后者，因为该点的分子分母皆为无穷大，对于无穷大，也是由变化趋势所决定，因为在距离该点比较远的地方所男积的值（有限值）相比于该点附近所男积的值可以忽略不计，该点附近累积的值则正是导数。

有了直观的解释以后，下面我们来具体的严格推导。

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一文讲透洛必达法则
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