关于范数的介绍

作者：Faaany
链接：https://www.zhihu.com/question/21868680/answer/136376374
来源：知乎
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要更好的理解范数，就要从函数、几何与矩阵的角度去理解，我尽量讲的通俗一些。
我们都知道，函数与几何图形往往是有对应的关系，这个很好想象，特别是在三维以下的空间内，函数是几何图像的数学概括，而几何图像是函数的高度形象化，比如一个函数对应几何空间上若干点组成的图形。
但当函数与几何超出三维空间时，就难以获得较好的想象，于是就有了映射的概念，映射表达的就是一个集合通过某种关系转为另外一个集合。通常数学书是先说映射，然后再讨论函数，这是因为函数是映射的一个特例。
为了更好的在数学上表达这种映射关系，（这里特指线性关系）于是就引进了矩阵。这里的矩阵就是表征上述空间映射的线性关系。而通过向量来表示上述映射中所说的这个集合，而我们通常所说的基，就是这个集合的最一般关系。于是，我们可以这样理解，一个集合（向量），通过一种映射关系（矩阵），得到另外一个几何（另外一个向量）。
那么向量的范数，就是表示这个原有集合的大小。
而矩阵的范数，就是表示这个变化过程的大小的一个度量。

那么说到具体几几范数，其不过是定义不同，一个矩阵范数往往由一个向量范数引出，我们称之为算子范数，其物理意义都如我上述所述。

以上符合知乎回答问题的方式。

接下来用百度回答方式：

0范数，向量中非零元素的个数。

1范数，为绝对值之和。

2范数，就是通常意义上的模。

无穷范数，就是取向量的最大值。

具体怎么用，看不同的领域，看你来自计算机领域 用的比较多的就是迭代过程中收敛性质的判断，如果理解上述的意义，在计算机领域，一般迭代前后步骤的差值的范数表示其大小，常用的是二范数，差值越小表示越逼近实际值，可以认为达到要求的精度，收敛。

 

 

总的来说，范数的本质是距离，存在的意义是为了实现比较。比如，在一维实数集合中，我们随便取两个点4和9，我们知道9比4大，但是到了二维实数空间中，取两个点（1，1）和（0，3），这个时候我们就没办法比较它们之间的大小，因为它们不是可以比较的实数，于是我们引入范数这个概念，把我们的（1，1）和（0，3）通过范数分别映射到实数和 3 ，这样我们就比较这两个点了。所以你可以看到，范数它其实是一个函数，它把不能比较的向量转换成可以比较的实数。
在上面的例子里，我们用的范数是平方求和然后再开方，范数还有很多其他的类型，这个就要看具体的定义了，理论上我们也可以把范数定义为只比较x轴上数字的绝对值。

PS：我这里说的是向量范数。;)

 

什么一范数二范数也是用来度量一个整体，比如两个个班的人比较高度，你可以用班里面最高的人（无穷范数）去比较，也可以用班里所有人的身高总和比较（一范数），也可以求平均（几何平均？忘记了。。）（类似二范数）。

举一个简单的例子，一个二维度的欧氏几何空间 R ^2就有欧氏范数。在这个向量空间的元素（譬如：(3,7)）常常在笛卡儿坐标系统被画成一个从原点出发的箭号。每一个向量的欧氏范数就是箭号的长度。