容斥原理之素数部分模板

最新推荐文章于 2023-04-02 15:25:06 发布

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分类专栏：数论、数学文章标签：容斥原理互质素数 dfs 二进制

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/u012936765/article/details/40680357

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这篇博客详细介绍了如何利用容斥原理解决与素数和互质关系相关的问题，包括计算特定范围内与指定数互质的数的个数，以及寻找与目标数互质的特定序列位置。通过二进制和DFS等方法，讨论了多个经典题目实例，如HDU 4135、POJ 2773等，旨在帮助读者理解并掌握这一算法模板。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

容斥原理主要是应用因子的组合形式（也就是Ai的并）。

在区间范围中就是先求含有两个因子的最小数，也就是最小公倍数。r/lcm(a,b) 也就是（1，r）中含有z这个数的个数。

奇加偶减。

模板为计算（1，r）中与num互质/非互质的个数。

二进制：

void getfactor(__int64 num)
{
    fac.clear();
    for(int i=2;i*i<=num;i++)
    {
        if(num%i==0)
        {
            fac.push_back(i);
            while(num%i==0)num/=i;
        }
    }
    if(num>1)fac.push_back(num);
}
__int64 coprime(__int64 num,__int64 r)
{
    int mm=(1<<fac.size());
    __int64 ans=0;
    for(int i=1;i<mm;i++)
    {
        int cnt=0;__int64 temp=1;
        for(int j=0;j<fac.size();j++)
        {
            if(i&(1<<j))
            {
                cnt++;
                temp*=fac[j];<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">//这里其实是公倍数，因为二者互质所以为相乘</span>
            }
        }
        if(cnt&1)
            ans+=r/temp;
        else ans-=r/temp;
    }
    return r-ans;
}

dfs法：

int cnt=0;
void getfac(int x)
{
	cnt=0;
	for(int i=2;i*i<=x;i++)
	{
		if(x%i==0)
		{
			p[cnt++]=i;
			while(x%i==0)x/=i;
		}
	}
	if(x>1)p[cnt++]=x;
}
void dfs(int idx,int num,int val,int R)
{
	if(idx==cnt)
	{
		if(val==1)return;
		if(num&1)x+=R/val;
		else x-=R/val;
		return;
	}
	dfs(idx+1,num+1,val*p[idx],R);//这里其实是公倍数，因为二者互质所以为相乘
	dfs(idx+1,num,val,R);
}

附上几道题：

hdu 4135

给定[l,r],n,求与n互质的数的个数。

poj 2773

给定 m，k

求与m互质的第k个数。

hdu 5072

给n个数。

求三个数（两两互质或两两不互质）的组合数量。

hdu 1796

给定n，m={a1,…,am}.

求1~n中被m集合任意一个数整除的数的个数。