欧拉函数：poj 2407, poj 1284,poj 2478,poj 3090,poj 3696,poj 3358

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分类专栏：数论文章标签：欧拉函数

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定义：欧拉函数

定理：求解欧拉函数的值可用如下定理实现（通过n的素因子分解）

算法实现：

（一）直接实现：直接套用定理求解欧拉函数值

ll phi(ll n)
{
    ll res=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++){
        if(n%i==0){
            res=res-res/i;
            do{
                n/=i;
            }while(n%i==0);
        }
    }
    if(n>1) res=res-res/n;
    return res;
}

poj 2407：Relatives

题目链接：http://poj.org/problem?id=2407

解题思路：裸求欧拉函数，直接调用函数

参考代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 65536;
ll n;
ll phi(ll n)
{
    ll res=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++){
        if(n%i==0){
            res=res-res/i;
            do{
                n/=i;
            }while(n%i==0);
        }
    }
    if(n>1) res=res-res/n;
    return res;
}
int main()
{
 //  freopen("input.txt","r",stdin);
   while(cin>>n&&n){
    cout<




（二）打素数表：
（三）递推求欧拉函数：欧拉函数值打表

void init()
{
   for(int i=1;i<=maxn;i++)  phi[i]=i;
   for(int i=2;i<=maxn;i+=2) phi[i]/=2;
   for(int i=3;i<=maxn;i+=2)
     if(phi[i]==i){
     for(int j=i;j<=maxn;j+=i)
        phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
   }
}




poj 1284：Primitive Roots
定理：如果p有原根，则它恰有φ(φ(p))个不同的原根，p为素数，当然φ(p)=p-1,因此就有φ(p-1)个原根
所以原问题转化为求欧拉函数φ(p-1)；参考代码（采用递推法打表求欧拉函数）

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 65536;
ll n,phi[maxn];
void init()
{
   for(int i=1;i<=maxn;i++)  phi[i]=i;
   for(int i=2;i<=maxn;i+=2) phi[i]/=2;
   for(int i=3;i<=maxn;i+=2)
     if(phi[i]==i){
     for(int j=i;j<=maxn;j+=i)
        phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
   }
}
int main()
{
  // freopen("input.txt","r",stdin);
   init();
   while(cin>>n){
    cout<



poj 2478：Farey Sequence
解题思路：
Fn=2,3,4,5,……，n-1,n互素的数的个数，进而求2到n欧拉函数值的和;欧拉函数值通过递推打表求解，2~n的和也可以通过打表预处理实现。
参考代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6+10;
ll n,phi[maxn],a[maxn];
void init()
{
   for(int i=1;i<=maxn;i++)  phi[i]=i;
   for(int i=2;i<=maxn;i+=2) phi[i]/=2;
   for(int i=3;i<=maxn;i+=2)
     if(phi[i]==i){
     for(int j=i;j<=maxn;j+=i)
        phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
   }
   a[2]=1;
   for(int i=3;i<=maxn;i++){
    a[i]=a[i-1]+phi[i];
   }
}
int main()
{
 //  freopen("input.txt","r",stdin);
   init();
   while(cin>>n&&n){
    cout<



poj 3090: Visible Lattice Points
解题思路：求不可约数对（x,y），即x,y互素，即求1到n欧拉函数值的和，在根据对称性2*sum+1即为所求。
参考代码：（与poj 2478 类似）

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6+10;
ll n,phi[maxn],a[maxn];
void init()
{
   for(int i=1;i<=maxn;i++)  phi[i]=i;
   for(int i=2;i<=maxn;i+=2) phi[i]/=2;
   for(int i=3;i<=maxn;i+=2)
     if(phi[i]==i){
     for(int j=i;j<=maxn;j+=i)
        phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
   }
   a[1]=1;
   for(int i=2;i<=maxn;i++){
    a[i]=a[i-1]+phi[i];
   }
}
int main()
{
  // freopen("input.txt","r",stdin);
   init();
   int T;cin>>T;int count=1;
   while(T--){
     cin>>n;
     cout<poj 3696:The Luckiest number(数论好题)
解题思路：
        
参考题解：http://www.cppblog.com/menjitianya/archive/2014/06/28/207449.html
参考代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6+10;
ll L,m,fac[maxn],phi;
ll gcd(ll a,ll b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}
ll multi(ll a,ll b,ll mod)//a*b%mod
{
    ll ans=0;
    while(b){
        if(b&1) ans=(ans+a)%mod;
        b>>=1;
        a=(a+a)%mod;
    }
    return  ans;
}
ll quickpow_mod(ll a,ll b,ll mod)//a^b%mod
{
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1) ans=multi(ans,a,mod);
        b>>=1;
        a=multi(a,a,mod);
    }
    return  ans;
}
ll init(ll n)//欧拉函数值
{
   ll res=n;
   for(ll i=2;i*i<=n;i++){
    if(n%i==0){
        res=res-res/i;
        do{
            n/=i;
        }while(n%i==0);
    }
   }
   if(n>1) res=res-res/n;
   return res;
}
ll solve(ll n)                //找到满足条件的最小因子
{
    int t=0;
    for(ll i=1;i*i<=n;i++){
        if(n%i==0){
            fac[t++]=i;
            if(i*i>L&&L){
     cout<<"Case "<



poj 3358:Period of an Infinite Binary Expansion(数论好题)
解题思路：



参考代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6+10;
ll p,q,begin,temp,fac[maxn],phi;
ll gcd(ll a,ll b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}
ll multi(ll a,ll b,ll mod)//a*b%mod
{
    ll ans=0;
    while(b){
        if(b&1) ans=(ans+a)%mod;
        b>>=1;
        a=(a+a)%mod;
    }
    return  ans;
}
ll quickpow_mod(ll a,ll b,ll mod)//a^b%mod
{
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1) ans=multi(ans,a,mod);
        b>>=1;
        a=multi(a,a,mod);
    }
    return  ans;
}
ll init(ll n)//欧拉函数值
{
   ll res=n;
   for(ll i=2;i*i<=n;i++){
    if(n%i==0){
        res=res-res/i;
        do{
            n/=i;
        }while(n%i==0);
    }
   }
   if(n>1) res=res-res/n;
   return res;
}
ll solve(ll n)                //找到满足条件的最小因子
{
    int t=0;
    for(ll i=1;i*i<=n;i++){
        if(n%i==0){
            fac[t++]=i;
            if(i*i