nyoj-116 士兵杀敌（二)（树状数组插点问线-模板题）

士兵杀敌（二）

时间限制：1000 ms  |  内存限制：65535 KB

难度：5

描述

南将军手下有N个士兵，分别编号1到N，这些士兵的杀敌数都是已知的。

小工是南将军手下的军师，南将军经常想知道第m号到第n号士兵的总杀敌数，请你帮助小工来回答南将军吧。

南将军的某次询问之后士兵i可能又杀敌q人，之后南将军再询问的时候，需要考虑到新增的杀敌数。

输入

只有一组测试数据
第一行是两个整数N,M，其中N表示士兵的个数(1<N<1000000)，M表示指令的条数。(1<M<100000)
随后的一行是N个整数，ai表示第i号士兵杀敌数目。(0<=ai<=100)
随后的M行每行是一条指令，这条指令包含了一个字符串和两个整数，首先是一个字符串，如果是字符串QUERY则表示南将军进行了查询操作，后面的两个整数m,n，表示查询的起始与终止士兵编号；如果是字符串ADD则后面跟的两个整数I,A(1<=I<=N,1<=A<=100),表示第I个士兵新增杀敌数为A.

输出

对于每次查询，输出一个整数R表示第m号士兵到第n号士兵的总杀敌数，每组输出占一行

样例输入

5 6
1 2 3 4 5
QUERY 1 3
ADD 1 2
QUERY 1 3
ADD 2 3
QUERY 1 2
QUERY 1 5

样例输出

6
8
8
20

思路：

       树状数组模板题；

       此题用一般方法查询时仍然会很快，但有数据修改时就会严重超时了，原因在于数组中某个元素增加后，“sum数组”该元素及之后所有的和值都要变，此步浪费了时间严重。而树状数组是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。

       这是一个非常巧妙的算法，个人数学学得不好，就不写证明过程了，以下为个人的简单理解：初学需首先搞懂 lowbit() 的作用：它求的是一个数的二进制表示中的 最后一个1及后面的0 所代表的数； 比如 8(1000): lowbit(8) = 8,     12(1100): lowbit(12) = 4.  lowbit(n)在区域求和和元素值增大时都需要使用，以下图举个简单示例：

a、求数组下标8-13元素的差(s[]为树状数组)：

因为 lowbit(13) = 12;  lowbit(12) = 8; lowbit(8) = 0;

所以sum13 = s[13] + s[12] + s[8];

以为 lowbit(8) = 0;

所以sum8 = s[8];

所以ans = sum13 - sum8;

b、num[5] 增大 10

因为 lowbit(5) = 6, lowbit(6) = 8, lowbit(8) = 16 // 在此处16为下标最大值

所以 s[5] += 10; s[6] += 10; s[8] += 10; s[16] += 10;

详见代码

代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define N 1000050

int num[N] = {0};			// 数据数组
int c[N] = {0};				// 树状数组

int Lowbit(int t)			// 取出一个数二进制中的 最后一个1及后面的0； 比如 lowbit(8) = 8, lowbit(12) = 4
{
	return t & (-t);
}

int Build(int Size)			// 创建树状数组
{
	for(int i = 1; i <= Size; i ++){			// 树状数组元素下标
		for(int j = (i - Lowbit(i) + 1); j <= i; j++){		// 该 树状数组元素 所包含的子元素和
			c[i] += num[j];
		}
	}

	return 0;
}

void Add(int i, int v, int Size)		// i元素增大v 
{
	while(i <= Size){
		c[i] += v; 
		i += Lowbit(i);				// i元素增加后，后面与其相关的 数组数组元素值 也相应的增加
	}
}

int Sum(int n)					// 求前n项和
{
	int s = 0; 
	while(n > 0){ 
		s += c[n];
		n -= Lowbit(n);			// 求在 树状数组 上的上一个有关元素下标
	}

	return s;
}

int main()
{
	char order[6];
	int soldier_num, order_num;
	int start, end;
	
	scanf("%d%d", &soldier_num, &order_num);
	for(int i = 1; i <= soldier_num; i ++){
		scanf("%d", &num[i]);
	}

	Build(soldier_num);			// 创建树状数组

	while(order_num --){
		scanf(" %s%d%d", order, &start, &end);

		if( !strcmp(order, "QUERY") ){							// 求区域和
			printf("%d\n", ( Sum(end) - Sum(start - 1) ));		// 两端相减
		}
		else{
			Add(start, end, soldier_num);			// 某个士兵杀敌数增加
		}
	}

	return 0;
}