百练 4103 踩方格

题目点我
好像是某一年微软编程之美的题目，其实有数学做法：令$F(n)$表示走n步的方法总数，则可以得到递推式

$$F(n) = F(n-1) + 2*\sum_{k = 1}^{n-2} F(k)$$
再变下型可以得到（根据1楼评论提示，thx）
$$F(n) = F(n-1) + F(n-2) + F(n-2) + 2*\sum_{k = 1}^{n-3} F(k)$$
$$=F(n-1) + F(n-2) + F(n-1) = 2*F(n-1) + F(n-2)$$
以及两个边界条件
$$F(1) = 3,F(2) = 7$$
每次考虑上一步方向是向北走的情况，从接下来这一步开始又成为了完全相同的计数问题，因为往三个方向都可以走。
如果第一步向北走，接下来 $n-1$步走法数显然是 $F(n-1)$。
如果第一步向东/西走，第二步向北走，接下来 $n-2$步走法数是 $F(n-2)$，东西对称要乘以二。
如果第三步向北走，接下来 $n-3$步走法数是 $F(n-3)$。以此类推。

然而由于博主智商不发达，上来就写了个搜索的做法，也20ms水过了。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define maxn 25
const int nStartX = maxn, nStartY = 0;
bool bMap[maxn + maxn][maxn]; //x, y
int nAns, nDir[3][2] = {{0, 1}, {-1, 0}, {1, 0}};

void dfs(int nX, int nY, int nStepLeft){
    if(nStepLeft == 0){
        nAns++;
        return;
    }
    int nNextX, nNextY;
    for(int i = 0; i < 3; i++){
        nNextX = nX + nDir[i][0];
        nNextY = nY + nDir[i][1];
        if(bMap[nNextX][nNextY] == false){
             bMap[nNextX][nNextY] = true;
             dfs(nNextX, nNextY, nStepLeft - 1);
             bMap[nNextX][nNextY] = false;
        }
    }
    return;
}

int main(){
    int nSteps;
    while(scanf("%d", &nSteps) != EOF){
        nAns = 0;
        memset(bMap, false, sizeof(bMap));
        bMap[nStartX][nStartY] = true;
        dfs(nStartX, nStartY, nSteps);
        printf("%d\n", nAns);
    }
    return 0;
}