旋转卡壳--求凸包最大直径

旋转卡壳--求凸包最大直径

本片博客接着上篇计算几何之凸包----Graham扫描法http://blog.youkuaiyun.com/u012328159/article/details/50808360来介绍旋转卡壳法，其实无论是求凸包的最大直径也好，还是凸包上距离最远的两个点也好，都可以使用万能方法---枚举暴力来求解，但是枚举暴力的时间复杂度为O(n^2)，而接下来要介绍的卡壳法能够时间复杂度降到O(n)。先看下什么是卡壳法吧，如图所示：

顾名思义，就是通过一对平行线来卡住凸包上的两个相对的点，然后通过旋转这对平行线能够得到凸包上距离最远的一对点。旋转过程如下图所示：

如果这样直接去实现不太好实现，我们可以转化一下，就是这一对平行线上在旋转的过程中我们可以让其中一条与凸包的一条边重合，此时另一条线的顶点是距这条边最远的点。我们可以依次枚举每条边求得距离这条最远的顶点，然后计算这个顶点到边两个端点的距离并取较大的一个，枚举完成时得到的最大距离即为直径长度。但是这样算的话因为枚举了所有边，每次又要枚举所有顶点，因此时间复杂度和暴力枚举一样。但是可以用下图观察到，当枚举的边逆时针旋转时，最远点也是跟着逆时针变化，这样我们可以不用每次枚举所有的顶点，直接从上次的最远点开始继续计算即可，此时复杂度为O(n)。自己可以在纸上画下图模拟一下，就明白了。

计算点到直线的距离时没必要直接计算，我们知道最远的顶点和这条组成的三角形面积一定是最大的，所以可以直接计算三角形面积，而三角形面积可以用叉积来计算：

因此就好计算了。下面给出代码模板：

double rotating_caliper(vector<Point> v)
{
	double max_dis = 0.0;
	int n = v.size();
	if (n == 2)
	{
		max_dis = dis(v[0], v[1]);
	}
	else
	{
		v.push_back(v[0]);
		int j = 2;
		for (int i = 0; i < n; ++i)
		{
			while (cross_product(v[i], v[i + 1], v[j]) < cross_product(v[i], v[i + 1], v[j + 1]))
			{
				j = (j + 1) % n;
			}
			max_dis = max(max_dis, max(dis(v[j], v[i]), dis(v[j], v[i + 1])));
		}
	}
	return max_dis;
}

具体应用请关注下一篇博客： http://blog.youkuaiyun.com/u012328159/article/details/50809277