复数与向量

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原创 2025-04-16 11:16:09 1.8k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

从交流电路到游戏开发：复数与向量的7个实战区别指南本文深入探讨了复数与向量在工程实践中的核心区别，通过对比交流电路分析与3D游戏物理模拟两大典型场景，揭示了二者在数学本质、旋转操作、维度适用性及实战应用上的根本差异。文章旨在帮助工程师和开发者根据问题域（如信号处理或图形学）精准选择最合适的数学工具，提升开发效率与逻辑正确性。阅读详情

复数说明

复数在数学、工程、物理等多个领域都有非常重要的作用。下面我们来简单介绍一下复数的定义和作用。

🌟 一、复数的定义

复数是形如 a + bi 的数，其中：

a 是实部（real part）；
b 是虚部（imaginary part）；
i 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$ 。

🚀 二、复数的作用

1. 解决实数不能解决的问题

复数最初是为了解决形如 $x^2 + 1 = 0$ 这样的方程而提出的，因为在实数范围内没有解，而复数中有 $\pm i$ 。

2. 在电路和信号处理中不可或缺

在交流电分析中，电压和电流通常用复数（或称“相量”）表示。比如阻抗、电抗等都可以通过复数来简化计算。

举个例子：
欧姆定律在交流电中变成 $V~=I~⋅Z~\tilde{V} = \tilde{I} \cdot \tilde{Z}$ ，其中每个量都是复数。

3. 在工程中表示旋转与振动

复数可用于表示二维平面中的旋转，例如用欧拉公式：
$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$
可以轻松表示一个旋转角度 $θ\theta$ 的变化。

4. 在控制系统与信号分析中描述系统特性

使用拉普拉斯变换和傅里叶变换时，函数的频率响应往往用复数来描述，复平面（如 s-平面）中的极点和零点能直观表示系统稳定性与频率特性。

5. 在图像处理和量子力学中也有广泛应用

图像处理中的傅里叶变换结果是复数，能表示图像的频率成分；
量子力学中，波函数本质上是复值函数。

📌 总结一下：

领域	复数的作用
数学	扩展实数域，解决高次方程
电路	描述交流电中的相位和幅度
控制	用复平面分析系统稳定性
信号处理	傅里叶变换中的频域分析
物理	波动与量子力学中的状态表示

复数在几个重要领域中的具体应用

🎛️ 一、电路分析（交流电）

在交流电中，电压和电流是随时间变化的正弦波，比如：
$V_m \cos(\omega t + \theta)$
这种信号如果用三角函数来处理非常繁琐。但如果用复数表示，可以简化为：
$\tilde{V} = V_m e^{i\theta}$
然后电流、电压、阻抗之间的关系就可以写为：
$\tilde{V} = \tilde{I} \cdot \tilde{Z}$
其中：

$V~\tilde{V}$ 是电压的复数形式（称为相量）；
$I~\tilde{I}$ 是电流的相量；
$Z~\tilde{Z}$ 是阻抗，包含电阻和电抗，也是一个复数：

$\tilde{Z} = R + jX$

✅ 优点：可以用复数加法/乘法替代复杂的三角恒等变换，极大简化了计算。

📡 二、信号处理与傅里叶变换

信号 $f (t)$ 可以用傅里叶变换转换到频域：
$F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt$
这个积分结果是一个复数，包含：

模：表示信号在某个频率的强度（幅值）；
角度（相位）：表示该频率成分的相位差。

例如在图像处理中，每张图像的频率信息都可以表示成复数矩阵。处理图像边缘、模糊、锐化等操作就是在这个频域中完成的。

✅ 优点：复数表达了信号的“频率 + 相位”信息，能够对信号进行更完整的分析。

🔄 三、控制系统中的稳定性分析

在控制工程中，常常需要判断一个系统是不是稳定的。我们可以对系统进行拉普拉斯变换，得到一个复变量的传递函数：
$\frac{Y(s)}{X(s)},\quad s = \sigma + i\omega$
系统的极点位置决定了系统的稳定性：

如果所有极点的实部都小于 0（在复平面的左半部分），系统稳定；
如果极点在虚轴或右半平面，系统会振荡或发散。

示意图：

复平面上的极点分布👇：

r复制编辑           Im
            |
    ●       |      ● 不稳定（右半平面）
            |
----●-------+-------●-------> Re
            |
    ●       |      ● 稳定（左半平面）

✅ 优点：利用复平面分析系统响应，可以快速判断稳定性、响应速度和震荡特性。

🧬 四、量子力学中的波函数

在量子力学中，粒子状态由一个复值函数 波函数 $ψ(x,t)\psi(x, t)$ 描述。

例如，一个自由粒子的波函数可能是：
$\psi(x, t) = Ae^{i(kx - \omega t)}$
我们不能直接“看”到波函数，而是通过它的模平方：
$|\psi(x, t)|^2$
来得到粒子在某位置出现的概率密度。复数的相位信息对干涉、叠加等现象非常关键。

✅ 优点：复数可以完整表达粒子状态，量子叠加与干涉都离不开复数。

💡 总结表格

应用领域	复数表达	作用
电路分析	相量法	表达电压电流幅值和相位，简化计算
信号处理	傅里叶变换	表达频率成分和相位
控制理论	极点分析	判断系统稳定性
量子力学	波函数	表示量子态和概率

👉 为什么复数加法/乘法能简化三角恒等式的计算？

其实本质上是因为 复数把幅度（大小）和相位（角度）合并成了一个整体表达式，而不是像三角函数那样要分别处理 sin 和 cos。

🔁 一、先看三角恒等式为什么“麻烦”

假设你有两个信号：
$\cos(\omega t + \phi_1),\quad B \cos(\omega t + \phi_2)$
要相加时用三角恒等变换，你得写成：
$\cos(\omega t + \phi_1) + B \cos(\omega t + \phi_2)= {一堆 cos·cos 和 sin·sin 的展开公式}$
非常麻烦，要用公式：
$\cos(a) + \cos(b) = 2 \cos\left( \frac{a+b}{2} \right) \cos\left( \frac{a-b}{2} \right)$
而且你还得判断哪个角大、角度是不是相差180度等等。

⚡ 二、复数处理法有多简单？

我们将信号变成复数（相量）形式：
$\tilde{A} = A e^{i\phi_1}, \quad \tilde{B} = B e^{i\phi_2}$
复数相加非常简单：
$\tilde{C} = \tilde{A} + \tilde{B}$
然后你只需取结果的实部：
$\text{Re}\{\tilde{C} \cdot e^{i\omega t}\}$
整个过程无需写一行三角恒等式，只是简单的复数加法。

✳️ 乘法更神奇

假设你要将两个振荡信号相乘：
$\cos(\omega t) \cdot \cos(\theta)$
如果用三角恒等式，你要用：
$\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) + \cos(A + B)]$
但如果用复数指数表达式（欧拉公式）：
$\cos x = \text{Re}(e^{ix})$
于是有：
$\cos(\omega t) \cdot \cos(\theta) = \text{Re}(e^{i\omega t}) \cdot \text{Re}(e^{i\theta}) \Rightarrow \text{Re}\left( \frac{e^{i(\omega t + \theta)} + e^{i(\omega t - \theta)}}{2} \right)$
这一步骤看似绕远了，但对于程序、数学推导，复数乘法直接就是向量旋转+缩放，完全避开了繁琐的三角恒等式。

🔍 直观理解：复数乘法 = 模长相乘 + 角度相加

比如：

两个复数 $z2=r2eiθ2z_1 = r_1 e^{i\theta_1},\ z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$

它们的乘积是：
$z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$
也就是说：

模长相乘
角度相加
（就像把两个旋转合并成一个！）

而用三角函数做这些，要非常复杂的公式。

✅ 总结

方法	优点	缺点
三角恒等式	可以推导，但公式复杂	推导繁琐、易错
复数运算	模长和相位统一表达，加法乘法直接用	抽象度较高，但表达力强

复数运算规则

🧮 复数的基本形式

一个复数可以表示为：
$z = a + bi$

$a$ ：实部（Real Part）
$b$ ：虚部（Imaginary Part）
$i$ ：虚数单位，满足 $i^2 = -1$

🔢 复数运算规则

1️⃣ 加法和减法

只需要实部加实部，虚部加虚部：
$(a + bi) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i$

2️⃣ 乘法

使用分配律并记住 $i^2 = -1$ ：
$a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$

3️⃣ 除法

复数除法要乘以共轭复数，即把分母变成实数：

例：
$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$

4️⃣ 共轭（Conjugate）

复数的共轭是把虚部变号：
$\overline{z} = a - bi$
性质：

$\cdot \overline{z} = a^2 + b^2$ ：这是复数的模平方
共轭在复平面中表示“对实轴对称”的点

5️⃣ 模（绝对值）

复数的模就是它到原点的距离：
$\sqrt{a^2 + b^2}$

6️⃣ 指数形式（极坐标形式）

复数也可以表示成：
$r(\cos \theta + i \sin \theta) = re^{i\theta}$
其中：

$r = ∣ z ∣$ ：模长
$θ=arg⁡(z)\theta = \arg(z)$ ：幅角（与正实轴的夹角）

这种形式方便用于乘法和除法：
$z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$

📌 小结表

运算	规则
加减	实部加减，虚部加减
乘法	$(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i$
除法	乘以共轭数，分母实数化
共轭	$a+bi‾=a−bi\overline{a + bi} = a - bi$
模	(
指数形式	$reiθre^{i\theta}$ ，乘除更方便

为什么规定 $i^2 = -1$ ？

🔹 1. 复数引入的背景

最早，数学家们在解代数方程时遇到了“无解”的情况。比如方程：
$x^2 + 1 = 0$
显然，没有实数解，因为对于任何实数 $x$ ， $x^2$ 总是大于或等于零，因此 $x^2 + 1$ 永远不可能等于零。

然而，数学家们不甘心放弃这个方程。于是，他们引入了一个新的“数”，我们称之为虚数单位，记作 $i$ ，它满足：
$i^2 = -1$
这样，方程就有了解：
$x^2 + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = -1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm i$

🔹 2. 为什么是 $i^2 = -1$ ？

简单来说，定义 $i$ 为满足 $i^2 = -1$ 的数，是为了让我们能解决那些没有实数解的方程。虚数并非“不真实”，它是数学系统扩展的一部分，使得方程求解更加完备。

通过引入 $i$ ，数学家们把原本只有实数解的问题，扩展到复数域，使得代数方程无论有无解，都能在复数范围内找到解。

🔹 3. 扩展数学的工具

定义 $i^2 = -1$ 不仅帮助我们求解方程，还在其他数学领域中发挥了重要作用。具体来说：

复数域的引入：通过虚数单位 $i$ ，我们得到复数系统。复数不再仅仅局限于实数的范围，使得许多问题的解答变得更加全面。
代数封闭性：复数是 代数封闭 的，即任何代数方程（无论是实数方程还是复数方程）都至少有一个复数解。举个例子： $x^3 - 2 = 0$ 在实数范围内没有解，但在复数范围内却能找到解。

🔹 4. 复数在实际应用中的重要性

虚数和复数广泛应用于许多学科，尤其在工程学、物理学等领域有重要作用：

信号处理：复数使得正弦波（周期性信号）的表示变得非常简洁。通过复数相量法，可以将时域中的复杂波形转化为频域中的简单表示，大大简化了计算和分析。
电路理论：交流电路中的电压、电流都可以用复数来表示，使得电路分析更加高效。
量子力学：波函数的表达、粒子态的叠加、干涉现象等都需要用到复数，虚数单位 $i$ 在量子力学中起着至关重要的作用。
控制理论：复数帮助分析系统的稳定性和频率响应，极大地简化了计算和分析过程。

总结

规定 $i^2 = -1$ 是为了扩展我们处理数学方程的工具，特别是帮助解决代数方程中没有实数解的问题。通过引入虚数单位，我们不仅可以找到方程的解，还能将问题扩展到复数系统，使得许多数学、工程和物理问题变得更加简洁和可解。

🔹 复数在坐标系中的表示

1. 复平面（复数坐标系）

复数 $z = a + bi$ 可以看作是平面上的一个点，其坐标为 $(a, b)$ ，其中：

$a$ 是复数的实部（Real part）
$b$ 是复数的虚部（Imaginary part）

2. 复数作为点和向量

复数不仅仅是一个代数数，它也可以被视作复平面上的一个点或者向量。在复平面中：

**横轴（实轴）**表示复数的实部 $a$
**纵轴（虚轴）**表示复数的虚部 $b$

也就是说，一个复数 $z = a + bi$ 在复平面上对应于点 $(a, b)$ ，或者对应于从原点 $(0, 0)$ 到 $(a, b)$ 的一个有向线段（即向量）。

🔹 复数的几何意义

1. 模（绝对值）

复数的模（或绝对值）表示复数在复平面上到原点的距离，即：
$\sqrt{a^2 + b^2}$
在复平面中，复数 $z = a + bi$ 的模是点 $(a, b)$ 到原点 $(0, 0)$ 的距离。

2. 辐角（幅角）

复数的辐角（或幅角）表示复数与实轴之间的夹角，通常用 $θ\theta$ 来表示。对于复数 $z = a + bi$ ，它的幅角 $θ\theta$ 可以通过反正切函数求得：
$\theta = \arg(z) = \tan^{-1}\left( \frac{b}{a} \right)$
其中， $θ\theta$ 是复数 $z$ 在复平面中相对于实轴的角度。

🔹 复数的极坐标表示

复数除了在直角坐标系（实部和虚部）中表示外，还可以使用极坐标来表示。极坐标表示法更方便进行复数的乘法和除法运算。

一个复数 $z = a + bi$ 可以用极坐标表示为：
$e^{i\theta}$
其中：

$\sqrt{a^2 + b^2}$ 是复数的模
$θ=arg⁡(z)\theta = \arg(z)$ 是复数的幅角

在复平面上，复数 $z$ 表示为模 $r$ 和角度 $θ\theta$ 的极坐标位置。复数的乘法和除法就可以通过模长和角度的运算来简化：

乘法：模长相乘，角度相加
除法：模长相除，角度相减

这种表示法特别适合处理旋转、振荡等现象。

🔹 复数运算的几何意义

复数不仅仅是代数对象，它们的运算也具有直观的几何意义。

1. 复数加法的几何意义

复数加法就是向量的加法。如果你有两个复数 $z_1 = a_1 + b_1 i$ 和 $z_2 = a_2 + b_2 i$ ，它们在复平面上分别对应于两个点或向量。当你加这两个复数时，相当于把这两个向量首尾相接，得到一个新的向量。

几何上可以通过平行四边形法则来理解复数加法。

2. 复数乘法的几何意义

复数乘法的几何意义是：

模长相乘：复数的模长会按比例缩放。
角度相加：复数的幅角会发生旋转，旋转的角度是两个复数的幅角之和。

这就是复数乘法的核心：通过旋转和缩放来实现复数之间的运算。

🔹 复数的实际应用

复数的几何意义在许多实际领域中非常重要，尤其是在信号处理、物理学、工程学等领域。复数在坐标系中的应用让很多原本复杂的计算变得更加直观和高效：

旋转：复数乘法的几何意义正是旋转，特别适合描述物体的旋转和信号的相位变化。
信号分析：复数帮助我们将信号从时域转换到频域，简化了正弦波、余弦波等信号的分析。
电路分析：在交流电路分析中，电压、电流等物理量可以用复数来表示，极大地简化了计算。
量子力学：复数是描述量子态、波函数、干涉等现象的核心工具。

📌 总结

复数在坐标系中的作用不仅仅是“数”的运算，它本身就具有几何意义，通过复平面（或复数坐标系）中的点和向量表示，使得我们能够直观地理解和运算。无论是复数加法、乘法，还是极坐标形式，都有其明确的几何解释，极大地简化了许多数学问题和工程问题。

💡 一、什么是向量？

✅ 1. 向量的定义：

向量是同时具有大小和方向的量。

表示运动：如速度、加速度、力等。
表示空间位置：如二维空间中的位置矢量。

🧭 二、向量的基本表示

✅ 1. 几何表示法：

在几何中，一个向量通常画成一个箭头，箭头的长度表示大小（模），方向表示向量的方向。

✅ 2. 代数表示法：

在坐标系中，向量可以用有序数对/数列表示。

二维向量：
$\vec{v} = (x, y)$
三维向量：
$\vec{v} = (x, y, z)$
n维向量：
$\vec{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n)$

📏 三、向量的基本运算

✅ 1. 向量加法：

$\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)$

几何意义：在平面中可以用“首尾相接法”或“平行四边形法则”来表示。

✅ 2. 向量减法：

$\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, a_2 - b_2)$

几何上就是从一个点指向另一个点的向量。

✅ 3. 数乘（标量乘法）：

$\cdot \vec{a} = (k a_1, k a_2)$

表示将向量放大或缩小 $∣ k ∣$ 倍，并根据符号决定方向。

🧮 四、向量的其他重要概念

✅ 1. 向量的模（长度）

二维向量：
$|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$
三维向量：
$|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$
表示向量从原点到终点的“距离”。

✅ 2. 单位向量

单位向量是模为 1 的向量：
$v^=v⃗∣v⃗∣ \hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$
它只保留方向，不含大小。

✅ 3. 向量点积（数量积）

两个向量：
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\theta$
代数形式：
$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_n b_n$

点积为 0：说明两个向量垂直（正交）
点积结果是一个标量（数值）

✅ 4. 向量叉积（仅适用于三维）

$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$

结果是一个垂直于 $a⃗\vec{a}$ 和 $b⃗\vec{b}$ 的向量，其模为：
$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$
可以用于求平面法向量或旋转方向。

🧭 五、向量在坐标系中的意义

可以表示从原点出发指向某点的位移
可以代表方向与幅度（如速度、加速度）
多个向量可以组成一个向量空间
可以用于描述线性变换（如旋转、投影、缩放）

🌍 六、向量的实际应用

🚀 1. 物理学：

力的合成与分解
位移、速度、加速度分析

📐 2. 工程/建筑：

坐标变换
构建结构模型

🧠 3. 计算机图形学：

模拟物体运动
灯光方向、法向量、视角处理等

🧮 4. 线性代数基础：

向量空间、矩阵变换
主成分分析、特征向量等

🧊 七、举个简单例子

两个向量：
$\vec{a} = (3, 4), \quad \vec{b} = (1, -2)$

加法： $a⃗+b⃗=(4,2)\vec{a} + \vec{b} = (4, 2)$
点积： $a⃗⋅b⃗=3×1+4×(−2)=3−8=−5\vec{a} \cdot \vec{b} = 3×1 + 4×(-2) = 3 - 8 = -5$
模长： $∣a⃗∣=32+42=5|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

向量和复数的关系

向量和复数虽然最初来源不同（向量源自几何，复数源自代数），但它们之间有非常紧密而深刻的联系，尤其在二维空间中，可以说“复数就是一种特殊的向量”。

我们来从多个维度详细分析它们之间的关系👇

🎯 一、表示形式上的对应

向量（二维）	复数
$(x, y)$	$z = x + i y$

向量的两个分量（x, y）可以直接看成复数的实部和虚部。
所以：复数 = 平面向量的代数表示法

📌 二、模与方向的对应

向量模：
$|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$
复数模（绝对值）：
$\sqrt{x^2 + y^2}$
向量方向（夹角）：用角度或单位向量描述
复数方向：用“幅角” $θ\theta$ 描述，复数的极坐标形式：
$(\cos \theta + i \sin \theta) = r e^{i\theta}$

🔁 三、运算方式的异同

✅ 向量加法 & 复数加法

向量加法：
$x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$
复数加法： $x_1 + i y_1) + (x_2 + i y_2) = (x_1 + x_2) + i (y_1 + y_2)$

👉 完全一样，对应分量相加。

✅ 向量乘法（复杂） vs 复数乘法（清晰）

向量之间本身没有“自然定义”的乘法（需要使用点积或叉积等特殊操作）。

而复数乘法可以实现旋转和缩放：
$z_1 = r_1 e^{i\theta_1}, \quad z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$

模相乘：表示缩放
幅角相加：表示旋转

💡 也就是说，复数乘法可以直接用来实现二维空间中的旋转变换！ 这正是复数比向量更有优势的地方之一。

🌀 四、图形意义一致

✅ 复数的几何意义：复平面

横轴表示实部（x轴）
纵轴表示虚部（y轴）
复数就是一个平面向量，从原点指向 $(x, y)$

✅ 向量的几何意义：平面箭头

同样也是从原点指向某个点的箭头

💥 五、复数 = 平面向量 + 代数结构

复数不仅表示了二维向量，而且还天然包含了：

旋转（通过复数乘法）
缩放（通过模）
共轭对称（对应 y 轴反射）

👉 所以：复数可以看作是二维向量的代数“进化体”

✳️ 六、总结对比表

项目	向量 $(x, y)$	复数 $x + i y$
表示方式	二元组	代数形式
几何意义	平面上的箭头	复平面上的点/箭头
加法	分量相加	实虚部相加
乘法	无自然定义（需用点积/叉积）	有定义，等价于旋转 + 缩放
模	$x2+y2\sqrt{x^2 + y^2}$	$x2+y2\sqrt{x^2 + y^2}$
单位方向表示	单位向量	单位复数 $eiθe^{i\theta}$
应用	力、速度、空间描述	振动、电路、旋转、信号分析等

🔍 拓展：三维及以上怎么办？

复数适用于二维空间（复平面）
更高维空间用：
- 向量 + 矩阵
- 或用更高级的代数结构：四元数（用于三维旋转）
  四元数可以看作是复数在三维空间的扩展。

用一个简单的例子，通过图形方式（结合代码思路）来演示复数乘法如何实现旋转和缩放：

🔢 示例：复数乘法 = 缩放 + 旋转

场景：

我们有一个复数点 $z = 1 + i$ ，它在复平面上的位置是 (1, 1)。

我们用另一个复数 $\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}} = 1 + i$ 去乘它，看看会发生什么。

目标：

计算 $\cdot w = (1 + i)(1 + i)$ ，并在图上显示出来。

✅ 数学推导部分

$1 + i)(1 + i) = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$

原始点 $(1, 1)$ 被乘以 $(1 + i)$ 后，变成了纯虚数 $2 i$ ，也就是复平面上的点 $(0, 2)$ 。

观察：

长度变化：原本模长为 $2\sqrt{2}$ ，现在是 $2$ ，所以模变大了。
方向变化：原本方向是 45°，现在是 90°，转了 45°。

➡️ 这就是复数乘法：模相乘，角度相加

🧑‍💻 Python 可视化代码（用 matplotlib）

你可以在本地运行这个代码来看看图形效果：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 定义复数
z = 1 + 1j  # 原始点
w = 1 + 1j  # 用来旋转和放大的因子

# 乘积
zw = z * w

# 设置图形
fig, ax = plt.subplots()
ax.set_aspect('equal')
ax.grid(True, which='both')

# 坐标轴
ax.axhline(y=0, color='k', linewidth=0.5)
ax.axvline(x=0, color='k', linewidth=0.5)

# 原始点
ax.quiver(0, 0, z.real, z.imag, angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='blue', label='z')
# 旋转放大后的点
ax.quiver(0, 0, zw.real, zw.imag, angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='red', label='z * w')

# 图例
ax.legend()
ax.set_xlim(-3, 3)
ax.set_ylim(-1, 3)
ax.set_title("复数乘法 = 缩放 + 旋转")
plt.show()