贝叶斯估计

我们现在讨论的点估计问题，无论你用矩估计也好，用极大似然估计也好或其他方法也好，在我们心目中，未知参数$\theta$简单地是一个未知数，在抽取样本之前，我们对$\theta$没有任何了解，所有的信息全来自样本。

贝叶斯学派则不然，它的出发点是：在进行抽样之前，我们已对$\theta$有一定的知识，叫做先验知识。这里“先验”的意思并非先验论，而只是表示这种知识是“在实验之前”就有了的，也有人把它叫做验前知识，即“在实验之前”的意思。

贝叶斯学派进一步要求：这种先验知识必须用$\theta$的某种概率分布表达出来，这个概率分布就叫做$\theta$的“先验分布”或“验前分布”。这个分布总结了我们在实验之前对未知参数$\theta$的知识。

举一个例子，设某工厂每日生产一大批某种产品，我们想要估计当日的废品率$\theta$。该厂以前已生产过很多批次产品，如果过去的检验有记录在，则它确实提供了关于废品率$\theta$的一种有用信息，据此可以画出$\theta$的密度曲线。

图中，$h(\theta)$表示$\theta$的密度函数$(0\le\theta\le1)$。图（a）表示一个较好的情况：$h(\theta)$在$\theta=0$附近很大，而当$\theta$增加时下降很快。这表示该厂以往的废品率通常都很低。图（b）则表示一个不大好的情况：比较大的废品率出现的比率相当高。容易理解：这种关于$\theta$的历史知识（即先验知识），在当前估计废品率$\theta$时应当适当地加以使用，而不应弃之不顾。这种思想与我们日常处事的习惯符合：当我们面临一个问题时，除了当前的情况外，往往还要注意以往的先例和经验。

那么问题就来了：如果这个工厂以往没有记录，或甚至是一个新开工的工厂，该怎么办？贝叶斯统计有一个基本要求：你必须设法去定出这样一个$h(\theta)$，甚至处于你自己的主管认识也可以，这是问题中一个必备的要素。正是在这一点上，贝叶斯统计遭到不少的反对和批评。

现在我们转到下一个问题：已定下了先验密度之后，怎样去得出参数$\theta$的估计？

设总体样本有概率密度$f(X,\theta)$(或概率函数，若总体分布为离散的)，从这个总体中抽样本$X_1,\cdots,X_n$，则这组样本的密度为$f(X_1,\theta)\cdots f(X_n,\theta)$。它可视为在给定$\theta$值时，$(X_1,\cdots,X_n)$的密度。那么(θ,